Question

质量为M的滑块由水平轨道和竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道组成，放在光滑的水平面上．质量为m的物块从圆弧轨道的最高点由静止开始滑下，以速度v从滑块的水平轨道的左端滑出，如图所示．已知M：m=3：1，物块与水平轨道之间的动摩擦因数为?，圆弧轨道的半径为R．
（1）求物块从轨道左端滑出时，滑块M的速度的大小和方向；
（2）求水平轨道的长度；
（3）若滑块静止在水平面上，物块从左端冲上滑块，要使物块m不会越过滑块，求物块冲上滑块的初速度应满足的条件．

Answer 1

分析：（1）地面光滑，滑块与轨道组成的系统水平方向动量守恒，根据动量守恒可正确解答．
（2）摩擦力乘以相对位移即水平轨道的长度为系统因克服摩擦而产生的热量，对整个系统根据功能关系可正确解答．
（3）物块以速度v₀冲上轨道，初速度越大，冲上圆弧轨道的高度越大，若物块刚能达到最高点，两者有相同的速度V₁，此为物块不会越过滑块的最大初速度，然后根据动量守恒和功能关系可正确解答．

解答：解：（1）对于滑块M和物块m组成的系统，物块沿轨道滑下的过程中水平方向动量守恒，物块滑出时有：
  mv=MV
滑块M的速度：V=

m

M

v=

1

3

v，方向向右．
故物块从轨道左端滑出时，滑块M的速度的大小为

1

3

v，方向水平向右．
（2）物块滑下的过程中，物块的重力势能转化为系统的动能和内能，有：

1

2

mv2+

1

2

MV2+μmgL=mgR
解得：L=

3gR-2v2

3μg

故水平轨道的长度为：L=

3gR-2v2

3μg

．
（3）物块以速度v₀冲上轨道，初速度越大，冲上圆弧轨道的高度越大．
若物块刚能达到最高点，两者有相同的速度V₁，此为物块不会越过滑块的最大初速度．
对于M和m组成的系统，水平方向动量守恒，有：
  mv₀=（m+M）V₁
相互作用过程中，系统的总动能减小，转化为内能和重力势能，有：

1

2

m

v

2 0

-

1

2

(M+m)V12=μmgL+mgR
解得：v0=

4

3

3gR-v2

要使物块m不会越过滑块，
其初速度：v0≤

4

3

3gR-v2

．
故若滑块静止在水平面上，物块从左端冲上滑块，要使物块m不会越过滑块，求物块冲上滑块的初速度应满足的条件为：v0≤

4

3

3gR-v2

．

点评：本题考查了动量与能量转化与守恒的综合，解答这类问题时注意选择正确初末状态，弄清功能关系，以及动量守恒和功能关系求解．