Question

为了探测某未知星球，探测飞船载着登陆舱先在离该星球中心距离为r的圆轨道上运动，经测定周期为T；随后登陆舱脱离飞船，变轨到贴近该星球表面的圆轨道上运动，展开对该星球的探测，此时登陆舱的速度即为该星球的第一宇宙速度．已知该星球的半径为R，引力常量为G，求：
（1）该星球的质量．
（2）该星球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析：1、根据万有引力提供向心力G

Mm

r2

=m(

2π

T

)2r，可解得该星球的质量M．
2、该星球的第一宇宙速度为该星球的近地卫星的运行速度，根据万有引力提供向心力G

Mm0

R2

=m0

v2

R

，结合求得M，化简可得第一宇宙速度．

解答：解：（1）设该星球的质量为M，探测飞船的质量为m，由万有引力提供向心力得：
G

Mm

r2

=m(

2π

T

)2r
解得：M=

4π2r3

GT2

（2）设登陆舱的质量为m₀，在贴近该星球表面的圆形轨道上运动的线速度为v，由万有引力提供向心力得：
G

Mm0

R2

=m0

v2

R

联立上式解得：v=

2πr

T

r R

答：（1）该星球的质量为

4π2r3

GT2

．
（2）该星球的第一宇宙速度为

2πr

T

r R

．

点评：本题要掌握万有引力提供向心力G

Mm

r2

=m(

2π

T

)2r，结合题意要能正确的选择向心力的表达式，从而计算中心天体的质量，这是计算天体质量的一种重要的方法．