Question

3．如图所示，在xOy平面第一象限内存在有垂直平面的匀强磁场（没画出）．一个质量为m、电荷量为q的带电粒子．由y轴上的P点开始运动，初速度为v₀，方向沿x轴正方向．P到O的距离为$\sqrt{3}$L．后来，粒子经过x轴上的Q点，此时速度方向与x轴负方向的夹角为θ=60°，Q到O的距离为2L，磁场的磁感应强度B=$\frac{4\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qL}$．以下说法正确的是（　　）

• A． 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为$\frac{\sqrt{3}L}{4}$
• B． 求带电粒子从P点运动到Q点所用的时间为$\frac{\sqrt{3}πL}{6{v}_{0}}$
• C． 若匀强磁场的区域是圆形磁场，则圆形磁场的最小面积为$\frac{9π{L}^{2}}{64}$
• D． 若匀强磁场的区域是矩形，则矩形磁场的最小面积为$\frac{3\sqrt{3}{L}^{2}}{32}$

Answer 1

分析 根据带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的过程中，洛伦兹力提供向心力，即可求出粒子运动的半径R，利用周期公式T=$\frac{2πm}{qB}$结合转过的圆心角求运动时间t；利用半径R结合几何关系即可求磁场区域的最小面积．

解答 解：A、根据洛伦兹力提供向心力可得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，又已知：B=$\frac{4\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qL}$，联立可得：R=$\frac{\sqrt{3}L}{4}$，故A正确；
B、根据R=$\frac{\sqrt{3}L}{4}$画出粒子轨迹过程图，如图一所示，

分析可知粒子在磁场中偏转的角度：θ′=120°，
根据周期公式：T=$\frac{2πR}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}πL}{2}$，
所以粒子在磁场中做匀速圆周运动的时间为：t₁=$\frac{θ′}{360°}T$=$\frac{\sqrt{3}πL}{6{v}_{0}}$；
粒子做匀速直线运动的位移：s=CP+CQ-（CM+CN）=2L+$\sqrt{3}L$tan30°+$\frac{\sqrt{3}L}{cos30°}$-2Rtan60°
将R=$\frac{\sqrt{3}L}{4}$代入上式可得：s=$\frac{7}{2}$L，
故粒子做匀速直线运动的时间：t₂=$\frac{s}{{v}_{0}}$=$\frac{7L}{2{v}_{0}}$，
所以粒子从P点运动到Q点所用的时间为：t=t₁+t₂=$\frac{\sqrt{3}πL}{6{v}_{0}}$+$\frac{7L}{2{v}_{0}}$，故B错误；
C、画出最小面积的圆形磁场区域如图二所示，

即：以MN为直径时，圆形磁场区域面积最小；
根据几何关系可知磁场区域半径：r=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R=$\frac{3}{8}$L，
所以圆形区域面积：S₁=πr²=$\frac{9π{L}^{2}}{64}$，故C正确；
D、画出最小面积的矩形磁场区域如图三所示，

所以矩形区域面积：S₂=$\sqrt{3}$R（R-$\frac{1}{2}$R），将R=$\frac{\sqrt{3}L}{4}$代入可得：S₂=$\frac{3\sqrt{3}{L}^{2}}{32}$，故D正确；
故选：ACD．

点评 本题考查带电粒子在电场中的运动，本题为一道易错题，题干说在xOy平面第一象限内存在有垂直平面的匀强磁场，但并不是第一象限都有磁场，解题关键是要根据题中所给已知长度，以及半径大小去画出正确的过程图，对几何作图能力要求较高．