一段凹槽A倒扣在水平长木板C上.凹槽内有一可视为质点的小物块B.它到凹槽两内侧的距离均为$\frac{L}{2}$.如图所示．水平长木板C位于光滑水平的桌面上.凹槽A与水平长木板C间的摩擦不计.小物块B与长木板C间的动摩擦系数为μ．A.B.C三者质量相等.原来都处于静止．现使凹槽A以大小为v0(v02＜2μgL)的初速度向右运动．已知当任一次� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

18．

一段凹槽A倒扣在水平长木板C上，凹槽内有一可视为质点的小物块B，它到凹槽两内侧的距离均为$\frac{L}{2}$，如图所示．水平长木板C位于光滑水平的桌面上，凹槽A与水平长木板C间的摩擦不计，小物块B与长木板C间的动摩擦系数为μ．A、B、C三者质量相等，原来都处于静止．现使凹槽A以大小为v₀（v₀²＜2μgL）的初速度向右运动．已知当任一次凹槽A和小物块B发生碰撞时，两者的速度都互换，而木板C的速度不变，凹槽A和小物块B发生碰撞的时间极短．求：
（1）从凹槽A、小物块B发生第一次碰撞到第二次碰撞的时间内，长木板C运动的路程．
（2）在凹槽A、小物块B刚要发生第四次碰撞时，A、B、C三者速度的大小．

分析（1）A、B碰撞过程动量守恒，A、B第一次碰撞后，A静止，B向右做匀减速运动，C向右做匀加速运动，由动量守恒定律与能量守恒定律可以求出C的路程．
（2）根据物体的运动过程，应用动量守恒定律求出A、B、C的速度．

解答解：（1）A与B刚发生第一次碰撞后，A停下不动，B以初速V₀向右运动．
由于摩擦，B向右作匀减速运动，而C向右作匀加速运动，两者速率逐渐接近．
设B、C达到相同速度V₁时B移动的路程为S₁．设A、B、C质量皆为m，以向右为正方向，
由动量守恒定律得：mv₀=2mv₁…①
由能量守恒定律得：μmgS₁=$\frac{1}{2}$•2mv₀²-$\frac{1}{2}$mv₁²…②
由①②解得：S₁=$\frac{3{v}_{0}^{2}}{8μg}$，由题意知：V₀＜$\sqrt{2μgL}$，
解得：S₁＜$\frac{3}{4}$L…③
可见，在B、C达到相同速度V₁时，B尚未与A发生第二次碰撞，B与C一起将以V₁向右匀速运动一段距离（l-S₁）后才与A发生第二次碰撞．
设C的速度从零变到V₁的过程中，C的路程为S₂．
由能量守恒定律得：μmgS₂=$\frac{1}{2}$mv₁²…④
解得：S₂=$\frac{{v}_{0}^{2}}{8μg}$，
因此在第一次到第二次碰撞间C的路程为：S=S₂+L-S₁=L-$\frac{{v}_{0}^{2}}{4μg}$…⑤；
（2）由上面讨论可知，在刚要发生第二次碰撞时，A静止，B、C的速度均为v₁．
刚碰撞后，B静止，A、C的速度均为V₁．由于摩擦，B将加速，C将减速，直至达到相同速度v₂．
以向右为正方向，由动量守恒定律得：mv₁=2mv₂…⑥
解得：v₂=$\frac{1}{2}$v₁=$\frac{1}{4}$v₀，
因A的速度v₁大于B的速度v₂，故第三次碰撞发生在A的左壁．
刚碰撞后，A的速度变为V₂，B的速度变为V₁，C的速度仍为V₂．
由于摩擦，B减速，C加速，直至达到相同速度v₃．以A的速度方向为正方向，
由动量守恒定律得：mv₁+mv₂=2mv₃…⑦
解得：v₃=$\frac{3}{8}$v₀，
故刚要发生第四次碰撞时，A、B、C的速度分别为：
v_A=v₂=$\frac{1}{4}$v₀…⑧，
v_B=v_C=v₃=$\frac{3}{8}$v₀…⑨
答：（1）从A、B发生第一次碰撞到第二次碰撞的时间内，木板C运动的路程为L-$\frac{{v}_{0}^{2}}{4μg}$．
（2）在A、B刚要发生第四次碰撞时，A、B、C三者速度大小分别为：$\frac{1}{4}$v₀、$\frac{3}{8}$v₀、$\frac{3}{8}$v₀．

点评本题是对研究对象、多过程问题，难度较大，分析清楚物体的运动过程，应用动量守恒定律与能量守恒定律即可正确解题，求C的路程是要注意B、C位移间的几何关系．

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