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(2013?黄冈一模)我国的“嫦娥三号”探月卫星将实现“月面软着陆”,该过程的最后阶段是:着陆器离月面h高时速度减小为零,为防止发动机将月面上的尘埃吹起,此时要关掉所有的发动机,让着陆器自由下落着陆.已知地球质量是月球质量的81倍,地球半径是月球半径的4倍,地球半径
R
 
0
=6.4×1
0
6
 
m,地球表面的重力加速度
g
 
0
=10 m/
s
2
 
.不计月球自转的影响(结果保留两位有效数字).
(1)若题中h=3.2m,求着陆器落到月面时的速度大小;
(2)由于引力的作用,月球引力范围内的物体具有引力势能.理论证明,若取离月心无穷远处为引力势能的零势点,距离月心为r的物体的引力势能
E
 
p
=-G
Mm
r
,式中G为万有引力常数,M为月球的质量,m为物体的质量.求着陆器仅依靠惯性从月球表面脱离月球引力范围所需的最小速度.
分析:(1)着陆器做近似地球表面的自由落体运动,由自由落体规律求解着地速度
(2)着陆器仅依靠惯性从月球表面脱离月球引力范围,根据机械能守恒定律求解初速度
解答:解:(1)着陆器做近似地球表面的自由落体运动,设着陆器落到月面时的速度大小为v,月球表面物体自由下落加速度为g,故:
v2=2gh①
设月球质量为M,半径为R,忽略月球自转,在月球表面附近质量为m的物体满足:
GMm
R2
=mg

同理,设地球质量为M0,半径为R0,有:
GM0m
R
2
0
=mg0

由①②③整理得,v=
2g0h
MR
2
0
M0R2
=
2×10×3.2×
1×42
81×12
m/s=3.56m/s

设着陆器至少以速度v0起飞方可冲出月球引力场,则由能量关系得:
1
2
mv
2
0
-
GMm
R
=0
由①②④并代入数据得:v0=2.5×103m/s
答:(1)着陆器落到月面时的速度大小为3.56m/s
(2)着陆器仅依靠惯性从月球表面脱离月球引力范围所需的最小速度为2.5×103m/s
点评:在月球表面的运动类比地球表面的自由落体运动,对于只有保守力做功的情形,注意题应用守恒的观点解决问题
练习册系列答案
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p
 
0
=1.0×1
0
5
 
Pa.左管和水平管横截面积
S
 
1
=10 c
m
2
 
S,右管横截面积
S
 
2
=20 c
m
2
 
,水平管长为3h.现撤去外力让活塞在管中下降,求两活塞稳定后所处的高度.(活塞厚度均大于水平管直径,管内气体初末状态温度相同,g取10 m/
s
2
 

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x
 
1
x
 
2
.物块与地面的最大静摩擦力为f.则弹簧的劲度系数为(  )

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