Question

6．如图所示，在xoy平面第一象限里有竖直向下的匀强电场，电场强度为E．第二象限里有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B．在x轴上-a处，质量为m、电荷量为e的质子以大小不同的速度射入磁场，射入时速度与x轴负方向夹角为α．不计空气阻力，重力加速度为g．求：
（1）在-x轴上有质子到达的坐标范围；
（2）垂直于y轴进入电场的质子，在电场中运动的时间；
（3）在磁场中经过圆心角为2α的一段圆弧后进入电场的质子，到达x轴的动能．

Answer 1

分析 （1）由题意可知，粒子的半径与速度成正比，故半径有无数种可能；根据题意可知，落到O点的第一个点应与y轴相切；根据几何关系可求得粒子所打在的位置，则可明确粒子范围；
（2）粒子在电场中做类平抛运动，由运动的合成与分解可求得时间；
（3）由题意明确粒子在磁场中运动的轨迹，再根据功能关系可求得到达x轴时的动能；

解答 解：（1）设-x轴的第一个坐标点为x₁
当粒子轨迹恰好与y轴相切时，粒子能到达-x轴上；
由几何关系有：
R+Rsinα=a
$R-Rsinα=\overline{O{x_1}}$
解得：$\overline{O{x_1}}=\frac{a（1-sinα）}{1+sinα}$
故坐标范围为：$[-a，\frac{a（1-sinα）}{1+sinα}]$
（2）质子垂直进入电场时距x轴的距离为：H=R+y₁
R=asinα
y₁=Rcosα
$H=\frac{1}{2}a{t^2}$
$t=\sqrt{\frac{2ma（1+cosα）}{Eesinα}}$
（3）在磁场中运动情景如图所示．$s=\frac{a}{cos（π-2α）}=-\frac{a}{cos2α}$
$R=\frac{{\frac{s}{2}}}{sinα}=-\frac{a}{2sinα•cos2α}$
y=a•tan（π-2α）=-atan（2α）
$Be{υ_0}=m\frac{{{υ_0}^2}}{R}$
$Eey={E_K}-\frac{1}{2}m{υ_0}^2$
${E_K}=-Eeatan（2α）+\frac{{{B^2}{e^2}{a^2}}}{{8m{{sin}^2}α{{cos}^2}（2α）}}$
答：（1）在-x轴上有质子到达的坐标范围$[-a，\frac{a（1-sinα）}{1+sinα}]$；
（2）垂直于y轴进入电场的质子，在电场中运动的时间为$\sqrt{\frac{2ma（1+cosα）}{Eesinα}}$；
（3）在磁场中经过圆心角为2α的一段圆弧后进入电场的质子，到达x轴的动能为-Eeatan（2α）+$\frac{{B}^{2}{e}^{2}{a}^{2}}{8msi{n}^{2}αco{s}^{2}（2α）}$

点评 本题考查带电粒子在电场和磁场中运动，要注意明确在电场中应用类平抛规律求解；而在磁场中应用洛仑兹充当向心力；应用好几何关系进行分析求解即可．