Question

3．有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度．已知该单摆在海平面处的周期是T₁．当气球停在某一高度时，测得该单摆周期为T₂，求该气球此时离海平面的高度h，把地球看成质量均匀分布的半径为R的球体．

Answer 1

分析 根据万有引力和物体受到的重力的大小相等可以求得在地面上和高度为h处的重力加速度大小的表达式，进而由单摆的周期公式可以求得高度的大小

解答 解：设单摆的摆长为L，地球的质量为M，则据万有引力定律可得地面的重力加速度和高山上的重力加速度分别为：$g=G\frac{M}{{R}^{2}}$ ${g}_{h}=\frac{GM}{（R+h）^{2}}$
据单摆的周期公式可知${T}_{1}=2π\sqrt{\frac{L}{g}}$  ${T}_{2}=2π\sqrt{\frac{L}{{g}_{h}}}$
由以上各式可求得：h=$（\frac{{T}_{2}}{{T}_{1}}-1）R$
答：气球此时离海平面的高度h为$（\frac{{T}_{2}}{{T}_{1}}-1）R$

点评 单摆的周期是由单摆的摆长和当地的重力加速度的大小共同决定的，在不同的地方，重力加速度的大小是不同的