Question

15．“水流星”是一种常见的杂技项目，该运动可以简化为轻绳一端系着小球在竖直平面内的圆周运动模型，如图所示，已知绳长为l，重力加速度为g，忽略空气阻力，则（　　）

• A． 小球运动到最低点Q时，处于超重状态
• B． 小球初速度v₀越大，则在P、Q两点绳对小球的拉力差越大
• C． 当v₀＞$\sqrt{6gl}$，小球一定能通过最高点P
• D． 当v₀＜$\sqrt{gl}$，细绳始终处于绷紧状态

Answer 1

分析 小球在最高点绳子的拉力与重力的合力提供向心力，在最低点也是绳子的拉力与重力的合力提供向心力，可根据牛顿第二定律列式求解，同时小球从最高点运动得到最低点的过程中，只有重力做功，可运用动能定理列式求解．

解答 解：A、小球在最低点时．重力与拉力的合力提供向心力，所以小球受到的拉力一定大于重力，小球处于超重状态．故A正确；
B、设小球在最高点的速度为v₁，最低点的速度为v₂；由动能定理得：
mg（2l）=$\frac{1}{2}$m${v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$…①
球经过最高点P：mg+F₁=$\frac{{mv}_{1}^{2}}{l}$…②
球经过最低点Q时，受重力和绳子的拉力，如图
根据牛顿第二定律得到，F₂-mg=$\frac{{mv}_{2}^{2}}{l}$…③
联立①②③解得：F₂-F₁=6mg，与小球的速度无关．故B错误；
C、球恰好经过最高点P，速度取最小值，故只受重力，重力提供向心力：mg=$\frac{{mv}_{3}^{2}}{l}$，得：v₃=$\sqrt{gl}$…④
小球以v₀向上运动到最高点时：由动能定理得：
mg（2l）=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{4}^{2}$…⑤
得：v₄=$\sqrt{2gl}$＞$\sqrt{gl}$=v₃，所以小球一定能够过最高点．故C正确；
D、若v₀＜$\sqrt{gl}$，设小球能够上升的最大高度h：由机械能守恒得：mgh=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}$mgl，
所以h＜l，小球上升的最高点尚不到与O水平的高度，所以细绳始终处于绷紧状态．故D正确．
故选：ACD

点评 本题小球做变速圆周运动，在最高点和最低点重力和拉力的合力提供向心力，同时结合动能定理列式求解！