Question

4．为了对火星及周围空间环境进行探测，我国在2011年11月发射了第一颗火星探测器萤火一号，假设探测器在离火星表面高度分别为h和3h的圆轨道上运动时，周期分别为T和2$\sqrt{2}$T，火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星自转的影响，万有引力常量为G．仅利用以上数据，求：
（1）火星的半径R和火星的质量M；
（2）火星的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供向心力，结合轨道半径和周期，联立方程组求出火星的半径和火星的质量．
（2）根据万有引力提供向心力求出火星的第一宇宙速度．

解答 解：（1）探测器绕火星做匀速圆周运动，由万有引力定律和牛顿第二定律，有：
$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m（R+h）（\frac{2π}{T}）^{2}$，
$G\frac{Mm}{（R+3h）^{2}}=m（R+3h）（\frac{2π}{2\sqrt{2}T}）^{2}$，
由以上两式可得：
R=h
M=$\frac{32{π}^{2}g{h}^{3}}{G{T}^{2}}$．
（2）设火星的第一宇宙速度为v，则有：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
则第一宇宙速度v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\frac{4\sqrt{2}πh}{T}$．
答：（1）火星的半径R为h，火星的质量M为$\frac{32{π}^{2}g{h}^{3}}{G{T}^{2}}$；
（2）火星的第一宇宙速度为$\frac{4\sqrt{2}πh}{T}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，并能灵活运用，知道第一宇宙速度等于贴着星球表面做匀速圆周运动的速度．