Question

1．宇航员在一半径为R的星球表面（忽略自转）以初速度为v₀竖直上抛一个物体，经t秒后回到抛出点，已知万有引力常量为G，那么
（1）该星球表面的重力加速度为$\frac{2{v}_{0}}{t}$
（2）该星球平均密度为$\frac{3{v}_{0}}{2GπRt}$
（3）该星球第一宇宙速度为$\sqrt{\frac{2{v}_{0}R}{t}}$．

Answer 1

分析 （1）根据竖直上抛运动的对称性，结合速度时间公式求出星球表面的重力加速度．
（2）根据万有引力等于重力求出星球的质量，结合星球的体积求出星球的平均密度．
（3）根据重力提供向心力，求出星球的第一宇宙速度．

解答 解：（1）根据竖直上抛运动的对称性，结合速度时间公式得：g=$\frac{{v}_{0}}{\frac{t}{2}}=\frac{2{v}_{0}}{t}$．
（2）根据mg=$G\frac{Mm}{{R}^{2}}$得星球的质量为：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}=\frac{2{v}_{0}{R}^{2}}{Gt}$．
则星球的密度为：$ρ=\frac{M}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}$=$\frac{3{v}_{0}}{2GπRt}$．
（3）根据mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$得星球的第一宇宙速度为：v=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{\frac{2{v}_{0}R}{t}}$．
故答案为：（1）$\frac{2{v}_{0}}{t}$；（2）$\frac{3{v}_{0}}{2GπRt}$；（3）$\sqrt{\frac{2{v}_{0}R}{t}}$．

点评 本题考查了万有引力定律理论和运动学公式的综合运用，通过竖直上抛运动求出星球表面的重力加速度是解决本题的关键．