Question

（2011?陕西二模）如图（a）所示，木板与水平面间的夹角θ可以在0到π/2内随意改变，可视为质点的小物块从木板的底端以大小恒定的初速率v₀沿木板向上运动，所能上升的最大距离记为x，今改变θ而使x随之改变，根据所测量的若干组数据可以描绘出x-θ曲线如图（b）所示，若木板足够长，重力加速度g取10m/s²，试根据x-θ曲线和相关的物理规律，求：
（1）小木块的初速率v₀
（2）小木块与木板间的动摩擦系数μ
（3）对应于x-θ曲线上x取最小值的P点的坐标值（θ₀，x_min）

Answer 1

分析：（1）由图象可知，当θ₁=

π

2

时，x₁=5m，此时小物块做竖直上抛运动，根据运动学公式求解小木块的初速率．
（2）由图象可知，当θ₂=0时，x₂=10m，当木板水平时，由动能定理得列出等式求解小木块与木板间的动摩擦系数．
（3）当木板与水平方向夹角为θ时，木块沿木板上滑的距离为x，由动能定理列出等式求解．

解答：解：（1）由图象可知，当θ₁=

π

2

时，x₁=5m，此时小物块做竖直上抛运动，
根据运动学公式可得：
  v0=

2gx1

=

2×10×5

m/s=10m/s
（2）由图象可知，当θ₂=0时，x₂=10m，当木板水平时，
由动能定理得-μmgx2=0-

1

2

m

v

2 0

解得μ=0.5
（3）当木板与水平方向夹角为θ时，木块沿木板上滑的距离为x，由动能定理得-mgxsinθ-μmgxcosθ=0-

1

2

m

v

2 0

解得   x=

v 2 0

2g(sinθ+μcosθ)

令y=sinθ+μcosθ=

1+μ2

(

1

1+μ2

sinθ+

μ

1+μ2

cosθ)
令  cosα=

1

1+μ2

则sinα=

μ

1+μ2

所以y=

1+μ2

sin(α+θ)
当α+θ=

π

2

时，y存在最大值ym=

5

2

即θ0=

π

2

-α，sinθ0=cosα=

1

1+μ2

=

2 5

5

θ0=arcsin

2 5

5

对应x的最小值为xmin=

v 2 0

2gam

=2

5

m
P点坐标为(arcsin

2 5

5

，2

5

)
答：（1）小木块的初速率是10m/s，
（2）小木块与木板间的动摩擦系数是0.5．
（3）对应于x-θ曲线上x取最小值的P点的坐标值是(arcsin

2 5

5

，2

5

)

点评：本题关键能够运用x-θ曲线的特殊值，选择物理规律解决问题．
了解研究对象的运动过程是解决问题的前提，选取研究过程，运用动能定理解题．