Question

2．如图所示，在x轴下方的区域内存在+y方向的匀强电场，电场强度为E．在x轴上方以原点O为圆心、半径为R的半圆形区域内存在匀强磁场，磁场的方向垂直于xoy平面向外，磁感应强度为B．-y轴上的A点与O点的距离为d，一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子从A点由静止释放，经电场加速后从O点射入磁场，不计粒子的重力．
（1）求粒子在磁场中运动的轨道半径r；
（2）要使粒子进人磁场之后不再经过x轴，求电场强度的取值范围；
（3）改变电场强度，使得粒子经过x轴时与x轴成θ=30⁰的夹角，求此时粒子在磁场中的运动时间t及经过x轴的位置坐标值x₀．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求得经电场加速后粒子的速度，再根据洛伦兹力提供圆周运动向心力求得粒子圆周运动的轨道半径；
（2）粒子进入磁场做圆周运动，要使粒子不再经过x轴，则粒子离开磁场时速度方向与x轴平行，由比计算分析求解电场强度的取值范围；
（3）根据几何关系求得粒子在磁场中圆周运动转过的圆心角，再根据周期求得在磁场中的运动时间，由几何关系求得粒子经过x轴的位置坐标．

解答 解：（1）粒子在电场中加速，由动能定理得：$qEd=\frac{1}{2}m{v}^{2}$  ①
粒子进入磁场后做圆周运动，有：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$  ②
解得粒子在磁场中运动的半径：r=$\frac{\sqrt{2mqEd}}{qB}$ ③
（2）设场强为E₀时，粒子离开磁场后恰好不再经过x轴，则离开磁
场时的速度方向与x轴平行，运动情况如图（甲），易得：

$R=\sqrt{2}r$          ④
由③、④式解得：${E}_{0}=\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{4md}$            
因此，场强的范围：E≥E₀
即：$E≥\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{4md}$     ⑥
（3）粒子运动情况如图（乙），由几何关系可得：
α=120°                 ⑦
粒子在磁场中的运动周期为：$T=\frac{2πr}{v}$     ⑧
粒子在磁场中的运动周期为：t=$\frac{α}{360°}T$    ⑨
联立②⑥⑦⑧可得：t=$\frac{2πm}{3qB}$             ⑩
由图可得粒子经过x轴时的位置横坐标值为：x₀=2Rcos30°=$\sqrt{3}R$
答：（1）粒子在磁场中运动的轨道半径r为$\frac{\sqrt{2mqEd}}{qB}$；
（2）要使粒子进人磁场之后不再经过x轴，电场强度的取值范围为$E≥\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{4md}$；
（3）改变电场强度，使得粒子经过x轴时与x轴成θ=30⁰的夹角，此时粒子在磁场中的运动时间t为$\frac{2πm}{3qB}$及经过x轴的位置坐标值x₀为$\sqrt{3}R$．

点评 带电粒子在磁场中运动时主要从洛伦兹力提供圆周运动向心力分析，根据粒子在磁场中运动的几何关系确定半径情况．