Question

2．如图所示，光滑半圆弧轨道半径为R，OA为水平半径，BC为竖直直径．一质量为m的小物块自A处以某一竖直向下的初速度滑下，进入与C点相切的粗糙水平滑道CM上，在水平滑道上有一轻弹簧，其一端固定在竖直墙上，另一端恰位于滑道的末端C点（此时弹簧处于自然状态）．若物块运动过程中弹簧最大弹性势能为E_P，且物块被弹簧反弹后恰能通过B点．己知物块与水平滑道间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，求：
（1）物块离开弹簧刚进入半圆轨道时对轨道的压力F_N的大小；
（2）弹簧的最大压缩量d；
（3）物块从A处开始下滑时的初速度v₀．

Answer 1

分析 （1）根据机械能守恒定律求出小物块运动到B点的速度，根据牛顿第二定律求出B点的支持力大小，根据牛顿第三定律可得物块对对轨道的压力；（2、3）据能量守恒定律求出弹簧的压缩量和A的初速度．

解答 解：（1）由题意可知，物块在B点满足：mg=$\frac{m{v}_{2}^{2}}{R}$…①
在物块由C到B的过程中，由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}=2mgR+\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$…②
又由牛顿第二定律得：${F}_{N}-mg=\frac{m{v}_{1}^{2}}{R}$…③
联立以上解得：F_N=6mg
（2）弹簧从压缩到最短开始，至物块被弹离弹簧的过程中，
据能量守恒得：$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}+μmgd={E}_{p}$…④
联立①②④解得：d=$\frac{{E}_{p}}{μmg}-\frac{5R}{2μ}$…⑤
（2）物块由A点到弹簧压缩到最短过程中，据能量守恒得：$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}+mgR={E}_{p}+μmgd$…⑥
联立⑤⑥解得：v₀=$\sqrt{\frac{4{E}_{p}}{m}-7gR}$
答：
（1）物块离开弹簧刚进入半圆轨道时对轨道的压力F_N的大小6mg；
（2）弹簧的最大压缩量d为$\frac{{E}_{p}}{μmg}-\frac{5R}{2μ}$；
（3）物块从A处开始下滑时的初速度v₀为$\sqrt{\frac{4{E}_{p}}{m}-7gR}$．

点评 本题考查了机械能守恒定律的基本运用，以及掌握圆周运动靠径向的合力提供向心力，通过牛顿第二定律求解支持力的大小；灵活应用能量守恒定律求解，此题难度较大．