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2.如图所示,光滑半圆弧轨道半径为R,OA为水平半径,BC为竖直直径.一质量为m的小物块自A处以某一竖直向下的初速度滑下,进入与C点相切的粗糙水平滑道CM上,在水平滑道上有一轻弹簧,其一端固定在竖直墙上,另一端恰位于滑道的末端C点(此时弹簧处于自然状态).若物块运动过程中弹簧最大弹性势能为EP,且物块被弹簧反弹后恰能通过B点.己知物块与水平滑道间的动摩擦因数为μ,重力加速度为g,求:
(1)物块离开弹簧刚进入半圆轨道时对轨道的压力FN的大小;
(2)弹簧的最大压缩量d;
(3)物块从A处开始下滑时的初速度v0

分析 (1)根据机械能守恒定律求出小物块运动到B点的速度,根据牛顿第二定律求出B点的支持力大小,根据牛顿第三定律可得物块对对轨道的压力;(2、3)据能量守恒定律求出弹簧的压缩量和A的初速度.

解答 解:(1)由题意可知,物块在B点满足:mg=$\frac{m{v}_{2}^{2}}{R}$…①
在物块由C到B的过程中,由机械能守恒定律得:$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}=2mgR+\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$…②
又由牛顿第二定律得:${F}_{N}-mg=\frac{m{v}_{1}^{2}}{R}$…③
联立以上解得:FN=6mg
(2)弹簧从压缩到最短开始,至物块被弹离弹簧的过程中,
据能量守恒得:$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}+μmgd={E}_{p}$…④
联立①②④解得:d=$\frac{{E}_{p}}{μmg}-\frac{5R}{2μ}$…⑤
(2)物块由A点到弹簧压缩到最短过程中,据能量守恒得:$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}+mgR={E}_{p}+μmgd$…⑥
联立⑤⑥解得:v0=$\sqrt{\frac{4{E}_{p}}{m}-7gR}$
答:
(1)物块离开弹簧刚进入半圆轨道时对轨道的压力FN的大小6mg;
(2)弹簧的最大压缩量d为$\frac{{E}_{p}}{μmg}-\frac{5R}{2μ}$;
(3)物块从A处开始下滑时的初速度v0为$\sqrt{\frac{4{E}_{p}}{m}-7gR}$.

点评 本题考查了机械能守恒定律的基本运用,以及掌握圆周运动靠径向的合力提供向心力,通过牛顿第二定律求解支持力的大小;灵活应用能量守恒定律求解,此题难度较大.

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