Question

（2006?盐城一模）如图所示在xoy所在的平面内，有两根金属丝MN和PQ，其形状分别满足方程y=asin

2πx

λ

和y=-asin

2πx

λ

，在两金属丝端点从M、P和N、Q之间各接二阻值为A的电阻丝，中间三个相交处均有绝缘表面层相隔，金属丝电阻不计．x＜0的区域内存在垂直xoy平面向下的磁感应强度为B的匀强磁场．两金属丝在沿x轴负方向的外力作用下，以初速度v匀速进入磁场．
（1）用法拉第电磁感应定律证明，金属丝上的感应电流是正弦式电流．
（2）求将两金属丝全部拉入磁场中，外力所做的功．
（3）假设仅在

λ

2

＜x＜0的区域内存在垂xoy平面向下的磁感应强度为B的匀强磁场，求将两金属丝以速度v匀速拉过磁场外力所做的功．

Answer 1

分析：（1）根据法拉第电磁感应定律表示出感应电动势e的大小，再由欧姆定律得到感应电流的大小表达式．即可证明．
（2）由上题结果可知金属丝中感应电流的最大值I_m，可求得有效值I=

2

2

Im，根据焦耳定律求两电阻丝的发热量，根据能量守恒得知，线框匀速运动时外力所做的功等于总热量．
（3）先求出两金属丝拉入或拉出磁场时，感应电动势的最大值，得到有效值，根据焦耳定律求得外力做功；再用同样的方法求出线框通过磁场时外力做功，即可求得外力所做的总功．

解答：解：（1）在t-t+△t时间间隔内
△Φ_t=BLv△t=B?2asin

2πx

λ

?v△t=2Bavsin

2πvt

λ

△t
据法拉第电磁感应定律E=

△Φ

△t

得
  e=2Bavsin

2πv

λ

t
感应电流i=

e

R+R

=

Bav

R

sin

2πv

λ

t
可见金属丝上的感应电流是正弦式电流．证毕．
（2）由上知：感应电流的最大值I_m=

Bav

R

，有效值为I=

2

2

Im=

2 Bav

2R

根据功能关系得：W=Q=I²R_总t=(

2 Bav

2R

)2?（2R）?

2λ

v

=

2B2a2vλ

R

（3）①将两金属丝拉入或拉出磁场区域的过程中，感应电动势最大值为
   E_m1=2Bav
感应电流最大值 I_m1=

Em1

2R

=

Bav

R

拉力做功 W₁=Q₁=(

Im1

2

)2?(2R)?

0.5λ

v

=

B2a2vλ

2R

②拉金属丝穿过磁场区域的过程中，感应电动势最大值为E_m2=4Bav
感应电流最大值 I_m2=2

Bav

R

拉力做功 W₂=Q₂=(

Im1

2

)2?（2R）?

1.5λ

v

=

6B2a2vλ

R

故将两金属丝以速度v匀速拉过磁场外力所做的功为
 W′=2W₁+W₂=2?

B2a2vλ

2R

+

6B2a2vλ

R

=

7B2a2vλ

R

答：
（1）证明略．
（2）将两金属丝全部拉入磁场中，外力所做的功为

2B2a2vλ

R

．
（3）将两金属丝以速度v匀速拉过磁场外力所做的功为

7B2a2vλ

R

．

点评：本题关键是运用法拉第定律得到感应电流的表达式，判断出产生了正弦式电流，求电功时应用有效值．