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    2009年3月1日，完成使命的“嫦娥一号”卫星成功撞击月球．“嫦娥一号”卫星在北京航天飞行控制中心科技人员的精确控制下，15时36分，卫星启动发动机开始变轨，然后关闭发动机沿抛物线下落，16时13分10秒成功落在月球的丰富海区域．撞击产生了高达10km的尘埃层．模拟撞击实验显示，尘埃能获得的速度可达到卫星撞击前速度的11%；在卫星变轨过程中，航天飞行控制中心还测得，卫星在离月球表面高176km的圆轨道上运行的周期为T1=125min，在近月（高度不计）圆轨道上运行的周期T2=107.8min．计算时取
    3107.8
    =4.76    ．试估算（结果保留两位有效数字）
    （1）月球半径R和月球表面重力加速度g；
    （2）空中尘埃层存在的时间；
    （3）“嫦娥一号”撞击月球表面时的速度．
    分析：（1）卫星绕月圆周运动时，由月球的万有引力提供其向心力，根据牛顿第二定律对卫星在离月球表面高176km的圆轨道和近月轨道分别列式，联立可求得R和g．
    （2）上升最高的尘埃做竖直上抛运动，根据位移公式和对称性求空中尘埃层存在的时间．
    （3）根据条件：尘埃能获得的速度可达到卫星撞击前速度的11%，先由机械能守恒求出尘埃上升时的初速度，即能根据条件求出“嫦娥一号”撞击月球表面时的速度．
    解答：解：（1）卫星绕月圆周运动时，由月球的万有引力提供其向心力，根据牛顿第二定律和万有引力定律得：
    在离月球表面高176km的圆轨道上，有  G
    Mm
    (R+h)2
    =m
    4π2
    T
    2
    1
    (R+h)      ①
    在近月轨道上，有：G
    Mm
    R2
    =m
    4π2
    T
    2
    2
    R      ②
    由①②得：
    (R+h)3
    R3
    =
    T
    2
    1
    T
    2
    2

    解得：
      R=
    3
    T
    2
    2
    3
    T
    2
    1
    -
    3
    T
    2
    2
    h=1.7×106m     ③
      g=
    4π2
    T
    2
    2
    R=1.6m/s2      ④
    （2）上升最高的尘埃做竖直上抛运动，因此由 H=
    1
    2
    g
    t
    2
    下

    得：t=2t下=2
    2H
    g
    =2
    2×104
    1.6
    =
    		5
    ×102s=2.2×102s
    （3）尘埃上升时机械能守恒，有：
     
    1
    2
    m
    v
    2
    0
    =mgH
    得：v0=
    		2gH
    =
    		2×1.6×104
    =1.8×102m/s
    则卫星撞击月球时的速度约为v=
    v0
    11%
    =
    1.8×102
    11%
    =1.6×103m/s
    答：
    （1）月球半径R和月球表面重力加速度g为1.6m/s2；
    （2）空中尘埃层存在的时间为2.2×102s；
    （3）“嫦娥一号”撞击月球表面时的速度为1.6×103m/s．
    点评：本题是卫星问题，关键要建立模型，理清解题思路：万有引力等于向心力．
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    1
    6
    ，月球半径为地球半径的
    1
    4
    ，根据以上信息得（　　）

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