Question

如图所示，竖直平面内，直线PQ右侧足够大的区域内存在竖直向上的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，左侧到直线距离为d₁=0.4m的A处有一个发射枪．发射枪将质量m=0.01kg，带电量q=+0.01C的小球以某一初速度v₀水平射出，当竖直位移为d₁/2时，小球进入电磁场区域，随后恰能做匀速圆周运动，且圆周最低点C（图中运动的轨迹未画出）到直线PQ的距离为d₂=0.8m．不计空气阻力，g取10m/s²．试求：
（1）小球水平射出的初速度v₀和电场强度E；
（2）小球从水平射出至运动到C点的时间t；
（3）若只将PQ右侧的电场强度变为原来的一半，小球进入电磁场区域后做曲线运动，轨迹的最低点为C′（图中未画出），则求：最低点C′离发射点A的竖直方向距离d及运动过程中的最小速度v．

Answer 1

分析：（1）根据平抛运动的规律，抓住水平位移是竖直位移的2倍，得出到达D点的速度与初速度的关系，球进入电磁场后球做匀速圆周运动，说明小球受到的电场力与重力大小相等，方向相反．写出公式求得结果．
（2）进入磁场后做圆周运动画出运动的轨迹如图，由几何关系可得小球做匀速圆周运动的半径，根据洛伦兹力提供向心力，求得磁感应强度．
（3）电场强度减半后，小球进入磁场时，有：mg=E′q+Bqv₀ 小球在电磁场中的运动可视为水平方向的匀速直线运动和竖直面内的匀速圆周运动．写出相应的方程，即可求解．

解答：解：（1）由平抛运动知识，有：d₁=v₀t₁

1

2

d₁=

1

2

gt₁²
解得：t₁=0.2s；v₀=2m/s
小球在电磁场区域恰能做圆周运动，故 Eq=mg
代入数据可得：E=10V/m
（2）小球进磁场时：v_y=gt₁=v₀
故v₁=

2

v₀
进入磁场后做圆周运动如图，由几何关系可得小球做匀速圆周运动的半径 r=

2

d₂
又 qv1B=

m v 2 1

r

代入数据可得 B=2.5T
所以T=

2πm

qB

=0.8πs
小球到达C点时完成了

1

8

个圆周运动：t₂=

1

8

T=0.1πs
小球从水平射出至运动到C点的时间 t=t₁+t₂=0.2+0.1π=0.51s；
（3）电场强度减半后，小球进入磁场时，有：mg=E′q+Bqv₀ 小球在电磁场中的运动可视为水平方向的匀速直线运动和竖直面内的匀速圆周运动
有qvyB=

m v 2 y

r′

有 r?=

mvy

qB

=0.8m
所以：d=r?+

1

2

d₁=1m
小球在最高点时速度最小，有：Eqr′-mgr′=

1

2

mv²-

1

2

m（

2

v）²
解得：v=0．
答：（1）小球水平射出的初速度为2m/s和电场强度E=10V/m；
（2）小球从水平射出至运动到C点的时间为0.51s；
（3）最低点C′离发射点A的竖直方向距离d为1m，运动过程中的最小速度为0．

点评：解决本题的关键理清小球在整个过程中的运动规律，画出运动的轨迹图，结合运动学公式、牛顿第二定律进行求解．