Question

2014年12月14日，北京飞行控制中心传来好消息，嫦娥三号探测器平稳落月．嫦娥三号接近月球表面过程可简化为三个阶段：
一、距离月球表面一定的高度以v=1.7km/s的速度环绕运行，此时，打开七千五百牛顿变推力发动机减速，下降到距月球表面H=100米高处时悬停，寻找合适落月点；
二、找到落月点后继续下降，距月球表面h=4m时速度再次减为0；
三、此后，关闭所有发动机，使它做自由落体运动落到月球表面．已知嫦娥三号着陆时的质量为1200kg，月球表面重力加速度g'为1.6m/s²，月球半径为R，引力常量G，（计算保留2位有效数字）求：
（1）月球的质量（用g'、R、G字母表示）
（2）从悬停在100米处到落至月球表面，发动机对嫦娥三号做的功？
（3）从v=1.7km/s到悬停，若用10分钟时间，设轨迹为直线，则减速过程的平均加速度为多大？若减速接近悬停点的最后一段，以平均加速度在垂直月面的方向下落，求此时发动机的平均推力为多大？

Answer 1

（1）根据在星体表面重力等于万有引力知mg′=

GM

R2

m，
解得M=

g′R2

G

；
（2）由100m下降过程中到4m前发动机会做功，取100m和4m为初末状态，前后动能没变，
根据动能定理列式mg′（H-h）+W=0
所以：W=-mg′（H-h）=-1200×1.6×96J=-1.8×10⁵J
即发动机做功为-1.8×10⁵J；
（3）由加速度定义知a=

v

t

=2.8m/s²
由牛顿第二定律知F=m（a+g'）=5300N
答：（1）月球的质量M=

g′R2

G

（2）从悬停在100米处到落至月球表面，发动机对嫦娥三号做的功-1.8×10⁵J
（3）从v=1.7km/s到悬停，若用10分钟时间，设轨迹为直线，则减速过程的平均加速度为2.8m/s²，若减速接近悬停点的最后一段，以平均加速度在垂直月面的方向下落，此时发动机的平均推力5300N．