Question

17．某行星自转周期为T，赤道半径为R，研究发现若该行星自转角度速度变为原来的两倍将导致该行星赤道上物体恰好对行星表明没有压力，已知万有引力常量为G，求：
（1）该行星的质量M；
（2）该行星的同步卫星轨道半径r．

Answer 1

分析 由“该行星自转角速度变为原来两倍将导致该星球赤道上物体将恰好对行星表面没有压力”可知此时重力充当向心力，赤道上的物体做匀速圆周运动，据此可得该星球的质量．同步卫星的周期等于该星球的自转周期，由万有引力提供向心力的周期表达式可得同步卫星的轨道半径．

解答 解：（1）赤道上物体对行星表面无压力，则G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mR[$\frac{2π}{\frac{T}{2}}$]²；
得：M=$\frac{8π{R}^{3}}{G{T}^{2}}$ 
（2）同步卫星的周期为T   
则 G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mr $\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
代入M得：r=$\root{3}{\frac{1}{π}}$R
答：（1）某行星的质量$\frac{8π{R}^{3}}{G{T}^{2}}$；
（2）某行星的同步卫星轨道半径$\root{3}{\frac{1}{π}}$R．

点评 行星自转的时候，地面物体万有引力等于重力没错，但是不是重力全部用来提供向心力，而是重力和支持力的合力提供向心力；“星球赤道上物体恰好对行星表面没有压力”时重力独自充当向心力．