Question

8．如图所示，一质量为m的小球用细线与悬点O₁相连，开始时球与O₁在同一水平线上，细线长为L，且刚好拉直，细线能承受的最大位力为4mg，CD为固定在竖直面内的光滑圆弧轨道，半径为R=L，圆弧所对的圆心角θ=53°，轨道下端D的切线竖直，并与竖直墙平滑连接，墙边立一竖直弹簧，上端刚好与D点对齐，弹簧的劲度系数为k=$\frac{5mg}{L}$，悬点O₁下方A点有一个钉子，小球由静止释放，运动到最低点时细线碰到钉子刚好被拉断（不是碰断），小球平抛运动刚好从C点无碰撞地进人圆弧轨道，沿圆弧轨道运动并向下压弹簧，小球动能最大时，已知弹簧的弹性势能为E_p，重力加速度为g（已知sin53°=0.8，cos53°=0.6）求：
（1）A点离悬点O₁的距离；
（2）小球向下压弹簧的过程中动能的最大值．

Answer 1

分析 （1）由机械能守恒求得在B的速度，然后应用牛顿第二定律求得半径，即可求得距离；
（2）由受力平衡求得压缩量，进而求得弹性势能，然后根据小球在C的速度方向求得BC的竖直高度，即可对整个过程应用动能定理求得动能．

解答 解：（1）小球下摆到B的过程只有重力做功，故机械能守恒，则有：$mgL=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$；
又有小球运动到最低点时细线碰到钉子刚好被拉断，那么由牛顿第二定律可得：$4mg-mg=3mg=\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{AB}=\frac{2mgL}{AB}$
解得：$AB=\frac{2}{3}L$，
那么A点离悬点O₁的距离为$L-\frac{2}{3}L=\frac{1}{3}L$；
（2）小球整个过程只有重力、弹簧弹力做功，即机械能守恒；
小球向下压弹簧的过程中，当弹簧弹力等于小球重力时，小球的合外力为零，动能取得最大值；
故当小球取得动能最大值时，小球从D向下运动了$x=\frac{mg}{k}=\frac{1}{5}L$，弹簧弹性势能为：${E}_{p}=\frac{1}{2}k{x}^{2}=\frac{1}{10}mgL$；
小球在B点的速度为：${v}_{B}=\sqrt{2gL}$，又有小球从B到C做平抛运动，所以，小球在C点的竖直分速度${v}_{y}=\frac{{v}_{B}}{tan53°}=\frac{3}{4}\sqrt{2gL}$
所以，BC之间的竖直高度为：$h=\frac{{{v}_{y}}^{2}}{2g}=\frac{9}{16}L$；
那么，对小球从静止下落到最大动能处应用动能定理可得：$mg（L+h+Rsinθ+x）-{E}_{p}=\frac{181}{80}mgL={E}_{kmax}$；
答：（1）A点离悬点O₁的距离为$\frac{1}{3}L$；
（2）小球向下压弹簧的过程中动能的最大值为$\frac{181}{80}mgL$．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．