Question

如图所示，质量为M=1Kg的长滑块B静止放在光滑的水平地面上，左边固定一劲度系数为K=8N/m且足够长的水平轻质弹簧，右侧有一不可伸长的轻绳连接于竖直墙壁上，细线所能承受的最大拉力为T=4N．现使一质量为m=2Kg，初速度为v₀的小物体A，在滑块B上无摩擦地向左运动，而后压缩弹簧．（已知弹簧的弹性势能E_P与弹簧的形变量x的关系：EP=

1

2

Kx2，K为弹簧的劲度系数）
（1）小物体A的速度v₀满足什么条件，才能使细线被拉断．
（2）若小物体A的初速度v0=

10

m/s，滑块B向左的最大加速度为多大．
（3）若小物体A离开滑块B时相对地面的速度为零，则小滑块的初速度v₀为多大？

Answer 1

分析：（1）假设绳子不断，当滑块速度减为零时，弹性势能最大，弹力最大，绳子的张力最大，等于弹簧的弹力；然后根据机械能守恒定律和胡克定律列式求解；
（2）当滑块与长木板速度相等时，弹力最大，加速度最大；先求解出断开时滑块速度，然后根据动量守恒和机械能守恒定律列式联立求解出共同速度，得到最大加速度．
（3）滑块与长木板分离后，速度恰好为零，根据动量守恒定律和机械能守恒定律列式后联立求解即可．

解答：解：（1）设弹簧压缩量为x₁时，绳被拉断，即
kx₁=T①
压缩弹簧过程动能转化为弹性势能，依题意有

1

2

kx12＜

1

2

mv02  ②
联立解得：v0＞

T

Km

=

4

8×2

=1m/s  ③
（2）设绳被拉断瞬时，小物体的速度为V₁，有

1

2

kx12+

1

2

mV12=

1

2

mv02 ④
绳断后长滑块加速，小物体减速，当两者速度相等时，弹簧压缩量最大为x₂，长滑块有向左的最大加速度a_m，此过程动量守恒，有：
mv₁=（M+m）v₂ ⑤
根据机械能守恒，有：

1

2

kx22+

1

2

(M+m)v22=

1

2

kx12+

1

2

mv12⑥
由牛顿第二定律得：kx₂=Ma_m ⑦
联立①④⑤⑥⑦解得：am=

1

M

kmMv02+mT2 M+m

=8m/s²．⑧
（3）要使小物体离开长滑块时相对地面速度为零，即弹簧恢复原长时小物体速度为零，此时长物块速度为v．在绳断开至弹簧恢复原长过程中，动量守恒，能量守恒，故有
Mv=mv₁ ⑨

1

2

Mv2=

1

2

kx12+

1

2

mv12  ⑩
联立①④⑨⑩解得m-M=

T2

kv02

由于v02＞0，必有m＞M
所以小物体最后离开滑块时，相对地面速度恰好为零的条件是m＞M且满足m-M=

T2

kv02

．
代入数据解得v0=

2

m/s．
答：（1）小物体A的速度v₀满足v₀＞1m/s，才能使细线被拉断．
（2）滑块B向左的最大加速度为8m/s²．
（3）若小物体A离开滑块B时相对地面的速度为零，则小滑块的初速度v₀为

2

m/s．

点评：本题关键要分析清楚滑块和滑板的运动规律，能结合机械能守恒定律和动量守恒定律多次列式后联立分析，较难．