Question

3．如图所示，有一平行板电容器左边缘在，轴上，下极板与x轴重台，极板间匀强电场的场强为E．一电量为q、质量为m的带电粒子，从O点与x轴成 角斜向上射入极板间，粒子经过K板边缘a点平行于x轴飞出电容器，立即进入一磁感应强度为B的圆形磁场（未画出），随后从c点垂直穿过x轴离开磁场．已知粒子在O点的初速度大小为v=$\sqrt{3}$$\frac{E}{B}$，∠aco=45°cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，磁场方向垂直于坐标平面向外，磁场与电容器不重台，带电粒子重力不计，试求：
（1）K极板所带电荷的电性；
（2）粒子经过c点时的速度大小；
（3）圆形磁场区域的最小面积．

Answer 1

分析 （1）根据左手定则和运动轨迹即可判断
（2）带电粒子在电容器中做匀变速曲线运动，在磁场中做匀速圆周运动，画出运动轨迹，把速度分解到沿x轴方向和沿y轴方向，根据几何关系求出到达a点的速度；
（3）粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，求出圆周运动的半径，再根据几何关系求出ac的长度，ac即为圆形磁场的最小直径，根据圆的面积公式求出最小面积；

解答 解：（1）在磁场中，由左手定则可知粒子带正电，由粒子在电容器间运动时，向L极板偏转，所以K板带正电
（2）带电粒子在电容器中做匀变速曲线运动，在磁场中做匀速圆周运动，轨迹如图所示：

粒子在x轴方向做匀速直线运动，在y轴方向做匀减速直线运动，经过K板边缘a点平行于x轴飞出电容器，
则粒子在x轴上的分量为v_a=vcosθ=$\sqrt{3}$$\frac{E}{B}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{E}{B}$，粒子在磁场中做匀速圆周运动，则到达c点时速度大小为${v}_{C}=\frac{E}{B}$，
（2）粒子从c点垂直穿过x轴离开磁场，又已知∠acO=45°，所以粒子在磁场中运动轨迹为$\frac{1}{4}$圆弧，
则圆形磁场直径最小为ac的长度，根据几何关系得：
ac=$\sqrt{2}$
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有：
Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：R=$\frac{m{v}_{C}}{qB}$=$\frac{mE}{{B}^{2}q}$
所以ac=$\frac{\sqrt{2}mE}{{B}^{2}q}$，
则圆形磁场区域的最小面积S=${（\frac{ac}{2}）}^{2}π=\frac{{m}^{2}{E}^{2}π}{2{B}^{4}{q}^{2}}$
答：（1）K极板所带电荷的电性为正电；
（2）粒子经过c点时的速度大小为$\frac{E}{B}$；
（3）圆形磁场区域的最小面积为$\frac{{m}^{2}{E}^{2}π}{2{B}^{4}{q}^{2}}$．

点评 本题是一道力学综合题，考查了粒子在电场、磁场中的运动，分析清楚粒子运动过程是正确解题的关键，