Question

（1）M从释放开始到第一次着地所用时间
（2）M第3次着地时系统损失的机械能与绳第3次绷直时系统损失的机械能之比
（3）M所走的全部路程（取三位有效数字）

Answer 1

（1）1s（2）△E₁：△E₂=4：1 （3）2.83m 

(1)从开始到M第一次着地，设着地速度为v₁的过程中，对系统：
由机械能守恒定律：MgH-mgH=(M+m)v₁²/2             ①……..（2分）
由动量定理得：   Mgt-mgt=(m+M)v₁                 ②……..（2分）
解得：           t=1s                              …………(1分)
(2)设第3次着地时的速度为v₃，此时系统损失的机械能△E₁即为M的动能
△E₁=Mv₃²/2                        ③……….(1分)
m上升后落回速度仍为v₃，绳绷直后达到共同速度v₃′，损失能量△E₂
绳绷直瞬间系统动量守恒，m的速度在M侧等效向上，与M同向：
m v₃=(m+M) v₃′                    ④……….(2分)
△E₂=mv₃²/2-(m+M) v₃′²/2           ⑤………..(2分)
∴             △E₁：△E₂=4：1                     ………….(1分)
(3)设M第一次着地后被m带着上升的高度为H₁，
m v₁=(m+M) v₁′                    ⑥……….(1分)
MgH₁-mgH₁=(M+m)v₁′²/2            ⑦……….(2分)
解方程①⑥⑦可得                   ……….(2分)
依此类推可得                      ……….(2分)
M所走的全部路程为 l=H+2H₁+2H₁+…2H_n=2.83m          ……….(2分)