Question

土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动。其中有两个岩石颗粒A和B与土星中心距离分别为r_A＝8.0×10⁴ km和r _B＝1.2×10⁵ km。忽略所有岩石颗粒间的相互作用。（结果可用根式表示），求：

（1）岩石颗粒A和B的线速度之比（2）岩石颗粒A和B的周期之比

（3）土星探测器上有一物体，在地球上重为10 N，推算出他在距土星中心3.2×10⁵ km处受到土星的引力为0.38 N。已知地球半径为6.4×10³ km，请估算土星质量是地球质量的多少倍？

Answer 1

（1）（2）（3）

解析:

（1）设土星质量为M₀,颗粒质量为m,颗粒距土星中心距离为r,线速度为v,根据牛顿第二定律和万有引力定律:  解得:     （3分）

对于A、B两颗粒分别有: 和，得:    （2分） 

（2）设颗粒绕土星作圆周运动的周期为T,则:       （3分）

对于A、B两颗粒分别有: 和  得:    （2分）

（3）设地球质量为M,地球半径为r₀,地球上物体的重力可视为万有引力,探测器上物体质量为m₀,在地球表面重力为G₀,距土星中心km处的引力为G₀’,根据万有引力定律:

                    （3分）

得：  (倍)                    （2分）