Question

9．如图所示，一质量为m的小球置于半径为R的光滑竖直圆轨道最低点A处，B为轨道最高点，C、D为圆的水平直径两端点．轻质弹簧的一端固定在圆心O点，另一端与小球栓接，已知弹簧的劲度系数为k=$\frac{mg}{R}$，原长为L=2R，弹簧始终处于弹性限度内，若给小球一水平初速度v₀，已知重力加速度为g，下列说法错误的是（　　）

• A． 只要小球能做完整的圆周运动，则小球与轨道间最大压力与最小压力之差与v₀无关
• B． 速度只要满足$\sqrt{2gR}$＜v₀＜$\sqrt{5gR}$，则小球会在B、D间脱离圆轨道
• C． 只要v₀＞$\sqrt{4gR}$，小球就能做完整的圆周运动
• D． 无论v₀多大，小球均不会离开圆轨道

Answer 1

分析 AB、在轨道的任意位置对小球受力分析，比较弹簧的弹力于重力在半径方向上的分力的大小，即可得知选项AB的正误．
C、利用机械能守恒定律可解的小球做圆周运动时在最低点的速度，由此可判知选项C的正误．
D、根据向心力的公式分别列出在最高点和最低点赶到对小球的压力，结合小球在运动过程中机械能守恒，即可推导出压力之差的表达式，从而可知选项D的正误．

解答 解：A、小球在最低点时，由牛顿第二定律得：F_N1-mg-k△x=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，其中k△x=mg；从最低点到最高点的过程，根据动能定理得：
  $\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$+mg•2R
在最高点：F_N2+mg-k△x=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，联立解得：F_N1-F_N2=6mg，故A正确；
BD、小球运动到最高点速度为零时假设没有离开圆轨道，则此时弹簧的弹力 F_弹=k△x=$\frac{mg}{R}$•R=mg，此时小球没有离开圆轨道，故B错误，D正确；
C、若小球到达最高点的速度恰为零，则根据动能定理得$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=mg•2R，解得 v₀=$\sqrt{4gR}$，故只要v₀＞$\sqrt{4gR}$，小球就能做完整的圆周运动，故C正确．
本题选错误的，故选：B

点评 本题涉及到的知识点较多，解答中要注意一下几点：
1、正确的对物体进行受力分析，计算出沿半径方向上的合外力，利用向心力公式进行列式．
2、注意临界状态的判断，知道临界状态下受力特点和运动的特点．
3、熟练的判断机械能守恒的条件，能利用机械能守恒进行列式求解．