Question

如图中甲所示，真空中两水平放置的平行金属板C、D，上面分别开有正对的小孔O₁和O₂，金属板C、D接在正弦交流电源上，C、D两板间的电压U_CD随时间t变化的图线如图中乙所示．t=0时刻开始，从C板小孔O₁处连续不断飘入质量为m=3.2×10^-21kg、电荷量q=1.6×10^-15C的带正电的粒子（设飘入速度很小，可视为零）．在D板外侧有以MN为边界的匀强磁场，MN与金属板C相距d=10cm，匀强磁场的大小为B=0.1T，方向如图中所示，粒子的重力及粒子间相互作用力不计，平行金属板C、D之间的距离足够小，粒子在两板间的运动时间可忽略不计．求：
（1）带电粒子经小孔O₂进入磁场后，能飞出磁场边界MN的最小速度为多大？
（2）从0到0.04s末时间内哪些时刻飘入小孔O₁的粒子能穿过电场并飞出磁场边界MN？
（3）以O₂为原点建立直角坐标系，在图甲中画出粒子在有界磁场中可能出现的区域（用斜线标出），并标出该区域与磁场边界交点的坐标．要求写出相应的计算过程．

Answer 1

分析：（1）粒子在两板间的运动时间可忽略不计，可认为粒子通过电场的过程中认为板间电压不变．粒子在磁场做匀速圆周运动，轨迹与边界MN相切时，粒子恰好飞出MN，对应的速度最小．根据牛顿第二定律可求出最小速度．
（2）根据粒子能飞出磁场的最小速度，对粒子在电场中加速过程运用动能定理求出电压，分析电压图象，确定时间范围．
（3）当加速电压最大时，粒子在电场中获得的速度最大，进入磁场中圆周运动的半径最大，根据牛顿第二定律求出轨迹半径，由几何知识得到粒子飞出磁场相对小孔向左偏移的最小距离，即可得到磁场边界有粒子射出的长度范围．

解答：解：（1）设带电粒子进入磁场后能飞出磁场边界的最小速度为V₀．
粒子在磁场做匀速圆周运动，轨迹与边界MN相切时，粒子恰好飞出MN，对应的速度最小．
由几何知识得到此时轨迹半径为R=d
根据牛顿第二定律得：qV₀B=

m V 2 0

R

∴V₀=5×10³ m/s?
（2）设恰能飞出磁场边界MN的粒子在电场中运动时板D、C间对应电压为U₀，对于电场加速过程，
根据动能定理得：
  qU₀=

1

2

mv²
得 U₀=25 V
由图象可知，25 V电压对应的时刻分别为

1

300

秒和

1

60

秒，
故粒子能飞出磁场边界的时间为：

1

300

秒-

1

60

秒．
（3）设粒子的最大速度v_m?
则  qν_m=

1

2

mv_m²
又qν_mB=m

v 2 m

Rm

粒子飞出磁场相对小孔向左偏移的最小距离为x?
  x=R_m-

R   2 m -d2

=0.04m
∴磁场边界有粒子射出的长度范围为△x=d-x=0.06m
答：
（1）带电粒子经小孔O₂进入磁场后能飞出磁场边界的最小速度为5×10³ m/s．?
（2）从0到0.04末的时间内，

1

300

秒-

1

60

秒时刻飘入小孔O₁的粒子能穿过电场并飞出磁场边界．
（3）磁场边界有粒子射出的长度范围为0.06m，如图所示．

点评：粒子在磁场中圆周运动问题处理的基本方法是画轨迹，往往从分析边界情况，得到临界速度．常常用到几何和三角知识求解半径．