Question

如图所示，半径为R的

1

4

的光滑圆弧轨道竖直放置，底端与光滑的水平轨道相接，质量为m₂的小球B静止光滑水平轨道上，其左侧连接了一轻质弹簧，质量为m₁的小球A自圆弧轨道的顶端由静止释放，重力加速度为g，试求：
（1）小球A撞击轻质弹簧的过程中，弹簧的最大弹性势能为多少？
（2）要使小球A与小球B能发生二次碰撞，m₁与m₂应满足什么关系？

Answer 1

分析：（1）由机械能守恒定律可以求出A到达水平面的速度，当两球速度相等时，弹簧的弹性势能最大，两球碰撞过程中动量守恒、机械能守恒，由动量守恒定律与机械能守恒定律可以求出弹簧的最大弹性势能．
（2）两球分开后，A球的速度大于B球的速度时，两球可以第二次相碰，由动量守恒定律与机械能守恒定律可以求出两球发生第二次相碰的条件．

解答：解：（1）设A球到达圆弧底端时的速度为v₀，
根据机械能守恒定律有：mgR=

1

2

m

v

2 0

   ①，
当A、B两球速度相同时，弹簧的弹性势能最大，设共同速度为v
根据动量守恒定律有：m₁v₀=（m₁+m₂）v  ②，
根据机械能守恒定律有：EPm=

1

2

m1

v

2 0

-

1

2

(m1+m2)v2  ③，
联立①②③解得：EPm=

m1m2

m1+m2

gR，④
（2）设A、B碰撞后的速度分别为v₁和v₂，
根据动量守恒定律有：m₁v₀=m₁v₁+m₂v₂ ⑤，
根据机械能守恒定律有：

1

2

m1

v

2 0

=

1

2

m1

v

2 1

+

1

2

m2

v

2 2

   ⑥，
联立⑤⑥解得：v1=

m1-m2

m1+m2

v0v2=

2m1

m1+m2

v0，
要使A、B两球能发生二次碰撞，必须满足|v₁|＞v₂ ⑨，
则有：-

m1-m2

m1+m2

＞

2m1

m1+m2

  ⑩，
解得：m1＜

1

3

m2，（m₁+m₂＜0不符合事实，舍去）；
答：（1）小球A撞击轻质弹簧的过程中，弹簧的最大弹性势能为

m1m2gR

m1+m2

．
（2）要使小球A与小球B能发生二次碰撞，m₁与m₂应满足的关系是m₁＜

1

3

m₂．

点评：分析清楚物体运动过程，应用机械能守恒、动量守恒定律即可正确解题．