Question

一质量为M的平板小车上，站着n个质量均为m的人，车原来静止在光滑的水平地面上，人相对车静止，现在n个人从车的后端跳下，从车上跳下时，人相对于小车的速度均为u，试求在下列两种情况下：
（1）n个人同时从车的后端跳下后，小车运动的速度多大？
（2）车上的人依次都从车的后端跳下，那么当车上的人全都跳下车后，小车运动的速度是多大？

Answer 1

（1）以平板小车和n个人为系统，设n个人同时从车上跳下后，小车的速度为v，
根据系统动量守恒，有 0=Mv+nm（v-u），
解得v=

nmu

M+nm

（2）根据动量守恒定律，设第一个人跳下后小车的速度为v₁，于是有：
0=[M+（n-1）m]v₁+m（v₁-u）
∴v1=

mu

M+nm

同理，设第二个人跳下后小车的速度为v₂，于是有：
[M+（n-1）m]v₁=[M+（n-2）m]v₂+m（v₂-u）
∴v2=

mu

M+(n-1)m

+

mu

M+nm

第三个人跳下后小车的速度为v₃，于是有：
[M+（n-2）m]v₂=[M+（n-3）m]v₃+m（v₃-u）
∴v2=

mu

M+(n-2)m

+

mu

M+(n-1)m

+

mu

M+nm

…
第n个人跳下后小车的速度为v_n，于是有[M+m]v_n-1=Mv_n+m（v_n-u）
∴vn=

mu

M+m

+

mu

M+2m

+…+

mu

M+(n-1)m

+

mu

M+nm

答：（1）n个人同时从车的后端跳下后，小车运动的速度v=

nmu

M+nm

（2）车上的人依次都从车的后端跳下，那么当车上的人全都跳下车后，小车运动的速度是vn=

mu

M+m

+

mu

M+2m

+…+

mu

M+(n-1)m

+

mu

M+nm