Question

如图所示，AB是倾角为θ的粗糙直轨道，BCD是光滑的圆弧轨道，AB恰好在B点与圆弧相切，圆弧的半径为R．一个质量为m的物体（可视为质点）从直轨道的P点由静止释放，结果它在两轨道之间做往复运动．已知P点与圆弧的圆心O等高，物体与轨道AB间的动摩擦因素为μ，求：
（1）物体做往复运动的过程中，在轨道AB上通过的总路程．
（2）物体对圆弧轨道最低点E的最小压力．

Answer 1

分析：（1）物体只有在直轨道AB上往复运动时，需克服摩擦阻力做功，机械能不断减小，在光滑的圆弧轨道上没有机械能损失；只有当物体到达B点速度为零时，物体才不能再进入直轨道AB，只在圆弧轨道上往复运动．所以我们就选择从P点到最后速度为零的过程为研究对象，应用动能定理求出摩擦力做功的路程即物体在AB轨道上的总路程． 
（2）欲求在E点物体对圆弧轨道的最小压力当然首先解决E点的最小速度，即物体只在圆弧轨道上往复运动经过E点时速度最小，由动能定理或机械能守恒都可以，然后利用牛顿第二定律求出轨道对物体的弹力，再由牛顿第三定律求出物体对轨道的压力．

解答：解：（1）物体在直轨道AB上往复运动时，需克服摩擦阻力做功，机械能不断减小，当物体到达B点速度为零时，物体不能再进入直轨道AB，只在圆弧轨道上往复运动．
对物体从P到B速度为零的过程，由动能定理得mgRcosθ-μmgcosθ?s=0
所以s=

R

μ

（2）当物体只在圆弧轨道上往复运动经过E点时，物体对轨道上E点的压力最小，
由机械能守恒定律得   mgR(1-cosθ)=

1

2

mv2
由牛顿第二定律得   FN-mg=m

v2

R

联立两式解得   F_N=mg（3-2cosθ）
由牛顿第三定律得，物体对轨道上E点的压力F_N′=mg（3-2cosθ）
答：（1）在轨道AB上通过的总路程s=

R

μ

（2）物体对圆弧轨道最低点E的最小压力F_N′=mg（3-2cosθ）

点评：通过受力分析明确物体的运动规律是本体的关键，即知道物体在B点的速度为零；
这是一道考查力和运动关系、功能关系的中档次好题．