Question

（2013?雅安三模）在xoy平面内，直线OP与y轴的夹角α=45°．第一、第二象限内存在大小相等，方向分别为竖直向下和水平向右的匀强电场，电场强度E=1.0×10⁵N/C；在x轴下方有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B=0.1T，如图所示．现有一带正电的粒子从直线OP上某点A（-L，L）处静止释放．设粒子的比荷

q

m

=4.0×107C/kg，粒子重力不计．求：
（1）当L=2cm时，粒子进入磁场时与x轴交点的横坐标
（2）当L=2cm时，粒子进入磁场时速度的大小和方向
（3）如果在直线OP上各点释放许多个上述带电粒子（粒子间的相互作用力不计），试证明各带电粒子进入磁场后做圆周运动的圆心点的集合为一抛物线（提示：写出圆心点坐标x、y的函数关系）

Answer 1

分析：（1）粒子由A点静止释放后，先做匀加速直线运动，进入第一象限后改作类平抛运动，而后进入匀强磁场，先由动能定理求出粒子进入第一象限的速度，再由类平抛运动规律可解粒子进入磁场时与x轴交点处的横坐标
（2）由类平抛运动规律，由速度的合成可解粒子进入磁场时速度的大小和方向．
（3）求解粒子进入磁场做匀速圆周运动的圆心的横纵坐标，解析圆心点坐标x、y的函数关系可得圆心点的集合为二次函数，图形为抛物线

解答：解：（1）带电粒子在第三象限做匀加速直线运动，进入第一象限的速度为v₁，设粒子出发点坐标为（-L，L），则
    qEL=

1

2

mv₁²
得v₁=4×10⁵m/s         
粒子在第一象限做类平抛运动：y=

1

2

at²=L  
    x=v₁t       
得x=2L=0.04m             
（2）粒子做类平抛运动，则v_x=v₁=4×10⁵m/s，v_y=at=4×10⁵m/s   
设粒子进入磁场时速度方向与x正方向的夹角为Φ，
则  tgΦ=

vy

vx

=1    
解得  Φ=45°
粒子进入磁场时的速度为
 v₂=

vx2+vy2

=4

2

×10⁵ m/s   
（3）L取任意时均有：x=2L，Φ=45°            
v=

2

v1=2

qEL m

粒子在磁场中做匀速运动时，qvB=m

v2

R

代入数据得：R=

L

所以圆心的坐标为：
  x=2L-

2

2

R，y=-

2

2

R
R=

L

代入并消去L，得
  x=4y²+y                       
此方程为一抛物线方程
答：（1）当L=2cm时，粒子进入磁场时与x轴交点的横坐标是0.04m．
（2）当L=2cm时，粒子进入磁场时速度的大小是4

2

×10⁵ m/s，方向与x正方向的夹角为45°．
（3）证明如上．

点评：带电粒子的偏转往往被称为“类平抛运动”，利用平抛运动规律解决，实际上在沿电场方向考虑运动的独立性，可再次应用动能定理求解沿偏转方向的分速度；在解决轨迹问题时，通常整理横纵坐标间的数学关系时，由关系式判断图象形状．