Question

如图示，平行倾斜导轨与水平导轨平滑连接，两导轨光滑且电阻不计．水平部分有竖直向上的匀强磁场穿过，B=2.0T，导轨间距L=0.5m，导体棒ab的质量为m₁=1kg，电阻为R₁=0.2Ω，静止于水平导轨上，导体棒cd的质量为m₂=2kg，电阻为R₂=0.3Ω，从高h=0.45m的倾斜导轨上由静止滑下．求：
（1）cd棒刚进入磁场时ab棒的加速度；
（2）若cd棒不与ab棒相碰撞，且导轨足够长，ab，cd两棒的最终速度分别是多少；
（3）整个过程中，在ab，cd棒上产生的热量各为多少．

Answer 1

分析：（1）cd棒沿光滑导轨下滑的过程中，机械能守恒，可求出cd棒刚进入磁场时的速度v₀．进入磁场后，cd棒切割磁感线，产生感应电流，受到安培力，根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律和安培力公式及牛顿第二定律求出加速度a．
（2）分析两棒的运动情况：cd棒进入磁场后，回路中产生感应电流，受到向左的安培力作用而做减速运动，ab棒由于受到向右的安培力作用而向右做加速运动，随着ab棒向右运动切割磁感线产生感应电动势，回路中感应电动势减小，感应电流减小，两棒所受的安培力减小，当两棒的速度相等时，回路中没有感应电流，两棒不再受到安培力而均做匀速运动．对于两棒组成的系统，合外力为零，根据动量守恒定律求解最终两棒的共同速度v．
（3）根据能量守恒定律求解回路中产生的总热量，由焦耳定律得到两棒上发出的热量．

解答：解：（1）cd棒在斜导轨下滑的过程，根据机械能守恒得：
mgh=

1

2

m

v

2 0

解得：v₀=

2gh

=

2×10×0.45

=3m/s
进入磁场后，cd棒切割磁感线，产生感应电动势为 E=BLv₀，感应电流为：
I=

E

R1+R2

=

BLv0

R1+R2

=

2×0.5×3

0.2+0.3

=6A，
AB所受的安培力大小为：
F=BIL=2×6×0.5N=6N
AB棒刚进入磁场时的加速度为：a₀=

F

m

=

6

1

=6m/s²．
（2）cd棒进入磁场后，cd和ab组成的系统动量守恒，则有：
m₁v₀=（m₁+m₂）v
得：v=2m/s
（3）根据能量守恒定律得：
mgh=Q+

1

2

(m1+m2)v2
解得：Q=3J
由焦耳定律Q=I²Rt得知ab棒上发出的热量为：
Q₁=

R1

R1+R2

Q=

0.2

0.2+0.3

×3J=1.2J
则cd棒上发出的热量为：
Q₂=Q-Q₁=1.8J
答：（1）AB棒刚进入磁场时的速度v₀为3m/s．加速度a₀是6m/s²．
（2）若AB不与CD相碰撞，导轨足够长，最CD的速度v是2m/s．
（3）整个过程中，在ab棒上发出的热量为1.2J，cd棒发出热量为1.8J．

点评：本题双杆在轨道上滑动的类型，根据系统的动量守恒和能量守恒研究，类似于非弹性碰撞．