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    12．如图所示，两金属导轨形成斜面，导轨间距离为d，倾角为37°，MN和PQ间存在垂直于斜面向上的磁场．a、b两导体棒垂直于导轨，两导体棒间距离为d=1m，a导体棒距离磁场上边界MN的距离为d=1m．a导体棒的质量为ma=0.2kg，b导体棒的质量为mb=0.1kg，两导体棒与导轨的动摩擦因数均为μ=0.5，除两导体棒外，其余电阻不计，由静止同时释放a、b两导体棒，当a导体棒进入磁场时恰好做匀速直线运动，当b导体棒刚好进入磁场时，a导体棒正好离开磁场，b导体棒在离开磁场前已经做匀速运动．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）
    求：（1）磁场的宽度L；
    （2）a、b导体棒产生的总焦耳热．

    分析 （1）根据牛顿第二定律即可求出二者的加速度，由位移公式求出a与b到达MN的时间，由速度公式求出a与b到达MN的速度，然后由匀速直线运动的公式求出磁场的宽度；
    （2）导体棒a刚进入磁场时，a做匀速运动，由共点力平衡点条件求出安培力以及磁感应强度，然后对b分析即可求出b在磁场中做匀速直线运动的速度，最后由功能关系求出a、b导体棒产生的总焦耳热．

    解答 解：（1）a与b棒在导轨上开始时受到重力、支持力和摩擦力的作用，做匀加速直线运动，由牛顿第二定律可知：
    ma=mgsinθ-μmgcosθ
    所以：a=gsinθ-μgcosθ
    可知二者运动的加速度与质量无关，代入数据得：a=2m/s2
    由位移-速度公式：$2ax={v}_{t}^{2}-{v}_{0}^{2}$可得
    a到达MN的速度：${v}_{a}=\sqrt{2ad}=\sqrt{2×2×1}=2$m/s
    b到达MN的速度：${v}_{b}=\sqrt{2a•2d}=\sqrt{2×2×2×1}=2\sqrt{2}$m/s
    由速度公式v=at得
    a到达MN的时间：${t}_{a}=\frac{{v}_{a}}{a}=\frac{2}{2}=1$s
    b到达MN的时间：${t}_{b}=\frac{{v}_{b}}{a}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$s
    a在磁场中做匀速直线运动，所以磁场的宽度：L=${v}_{a}（{t}_{b}-{t}_{a}）=2×（\sqrt{2}-1）≈0.83$m
    （2）设磁场的磁感应强度为B，导体棒a与b的电阻值都是R；
    导体棒a刚进入磁场时a做匀速运动，处于平衡状态，则：magsinθ-μmagcosθ-BI1d=0 
    其中：${I}_{1}=\frac{{E}_{1}}{2R}=\frac{Bd{v}_{a}}{2R}$
    对b：mbgsinθ-μmbgcosθ-BI2d=0
    其中：${I}_{2}=\frac{{E}_{2}}{2R}=\frac{Bd{v}_{b}′}{2R}$
    联立以上4式，代入数据得：vb′=1m/s
    a在磁场中运动的过程中产生的焦耳热等于a减小的重力势能，即：
    Q1=magLsinθ
    b的磁场中运动的过程中产生的焦耳热等于b减小的重力势能与减小的动能的和，即：
    ${Q}_{2}={m}_{b}gLsinθ+\frac{1}{2}{m}_{b}{v}_{b}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{b}v{′}_{b}^{2}$
    a、b导体棒产生的总焦耳热：Q=Q1+Q2
    代入数据联立得：Q=1.84J
    答：（1）磁场的宽度为0.83m；
    （2）a、b导体棒产生的总焦耳热是1.84J．

    点评 该题考查运动学知识、牛顿第二定律、闭合电路欧姆定律、法拉第电磁感应定律等知识．考查逻辑推理能力、分析综合运用能力和运用物理知识解决物理问题能力．

    练习册系列答案
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