Question

4．天王星是从太阳系由内向外的第七颗行星，有很多卫星．已知一颗卫星绕天王星做匀速圆周运动，它离天王星表面的高度h，运动周期为T，天王星的半径为R，试求：
（1）该卫星运行速度；
（2）天王星的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）根据线速度与周期的关系$v=\frac{2πr}{T}$直接求解；
（2）天王星的第一宇宙速度为绕天王星表面做匀速圆周运动时的速度，由万有引力提供向心力公式列式即可求解．

解答 解：（1）根据线速度与周期的关系$v=\frac{2πr}{T}$得：
该卫星运行速度v=$\frac{2π（R+h）}{T}$
（2）在天王星表面绕天王星做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力得：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v′}^{2}}{R}$①
根据万有引力提供向心力得：
$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m\frac{4{π}^{2}（R+h）}{{T}^{2}}$②
由①②解得：
v′=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{{T}^{2}R}}$
答：（1）该卫星运行速度为$\frac{2π（R+h）}{T}$；
（2）天王星的第一宇宙速度为$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{（R+h）}^{3}}{{T}^{2}R}}$．

点评 本题主要考查了向心力公式以及线速度与周期的关系公式的直接应用，知道第一宇宙速度的含义，明确天王星的第一宇宙速度为绕天王星表面做匀速圆周运动时的线速度，难度不大，属于基础题．