Question

如图所示，悬挂在竖直平面内O点的一个木质小球（可以看成质点），悬线长为L，小球的质量为M．一颗质量为m的子弹，以水平速度v₀射入木球且留在其中，随即木球就在竖直平面内运动起来．
（1）若v₀大小已知，求在子弹击中木球的过程中系统损失的机械能；
（2）若v₀大小未知，木球在竖直平面内运动过程中悬线始终不发生松驰，子弹速度v₀应满足的条件．

Answer 1

分析：（1）子弹在射击木球的过程中，子弹和木球在水平方向上动量守恒，机械能的损失量等于子弹的初动能减去子弹和木块的末动能；
（2）要使木球在竖直平面内运动过程中悬线始终不发生松驰，木球运动有两种情况：一是木球运动速度较大时将做完整圆周运动，二是木球速度较小时做不完整圆周运动（即摆动）．根据牛顿第二定律求出在最高点的最小速度，再根据机械能守恒定律求出子弹与木球在最低点的最小速度，最后通过动量守恒定律求出子弹做完整圆周运动的最小初速度．
由机械能守恒定律求得子弹做不完整圆周运动最大速度．

解答：解：（1）子弹在射击木球的过程中，子弹和木球在水平方向上动量守恒，设二者最终在水平方向的速度为v，
由动量守恒定律得：mv₀=（m+M）v …①
损失的机械能为△E，则有：△E=

1

2

m

v

2 0

-

1

2

(m+M)

v

2

…②
由①、②得：△E=

Mmv02

2(m+M)

…③
（2）要使木球在竖直平面内运动过程中悬线始终不发生松驰，木球运动有两种情况：
一是木球运动速度较大时将做完整圆周运动，二是木球速度较小时做不完整圆周运动（即摆动）．
在做完整圆周运动时：小球从最低点运动到最高点过程中机械能守恒．设小球在最高点时的速度为v′，
有：

1

2

(m+M)v2=(m+M)g?2L+

1

2

(m+M)v/2…④
若要使绳不发生松驰，则须  v/≥

gL

…⑤
由①、④、⑤得v0≥

5gL

(

M+m

m

)…⑥
若做不完整的圆周运动，小球最高只能摆至与悬挂点等高的水平位置，小球从最低点摆至速度等于零的位置，
由机械能守恒定律得：

1

2

(m+M)v2≤(m+M)gL…⑦
由①、⑦得：v0≤

2gL

(

M+m

m

)…⑧
答：（1）若v₀大小已知，在子弹击中木球的过程中系统损失的机械能是

Mmv02

2(m+M)

；
（2）若v₀大小未知，木球在竖直平面内运动过程中悬线始终不发生松驰，做完整圆周运动时v0≥

5gL

(

M+m

m

)，
做不完整的圆周运动v0≤

2gL

(

M+m

m

)．

点评：本题综合考查了动量守恒定律、机械能守恒定律以及牛顿第二定律，关键理清整个运动过程，分过程求解．