Question

10．A、B两个质点沿直线同时从甲处向乙处运动，A以v_A=3m/s的速度做匀速直线运动，B做初速度为零，加速度a_B=3m/s²的匀加速运动．当B与A在途中相遇时，B即改做加速度a_B′=-2m/s²的匀减速直线运动，求：
（1）在B减至速度为零之前，A、B质点在途中何时相距最远，最远距离为多少？
（2）A、B能否会第二次相遇？若能二次相遇，何时相遇？此时B的速度多大？

Answer 1

分析 （1）开始过程，B追赶A，当两者速度相等时相距最远，当两者第一次相遇后，改为A追赶B，当两者速度相等时，再次相距最远，比较这两次的数值即可求解；
（2）因为B做减速运动，故A、B一定会再次相遇，设二次相遇的时间，根据运动学基本公式结合位移关系求解．

解答 解：（1）由于B做初速度为零的匀加速运动，而A做匀速运动，在开始一段时间内，由于v_A＞v_B，所以A、B之间的间距一直在增大；当v_A=v_B时，两者相距最远；之后当v_A＜v_B时，两者间距逐渐减小．
设第一次相距最远时，时间为t₁，当v_A=v_B时，即a_Bt₁=v_A得：t₁=1s，
此时A、B间距离为$△x={v}_{A}{t}_{1}-\frac{1}{2}{a}_{B}{{t}_{1}}^{2}=3×1-\frac{1}{2}×3×1=1.5m$．
由相遇条件x_A=x_B，有${v}_{A}{t}_{2}=\frac{1}{2}{a}_{B}{{t}_{2}}^{2}$，得t₂=2s，此时B的速度v_B=a_Bt₂=3×2=6m/s
当两者第一次相遇后，改为A追赶B，当两者速度相等时，再次相距最远，设从相遇到速度再次相等用时t₃，则：${t}_{3}=\frac{{v}_{B}-{v}_{A}}{{a}_{B}′}=\frac{6-3}{2}$s=1.5s
此时两者相距：s′=${v}_{B}{t}_{3}-\frac{1}{2}{a}_{B}′{{t}_{3}}^{2}$-v_At₃=6×1.5-0.5×2×1.5²-3×1.5m=2.25m
由于s′＞s
从出发所需时间：T=t₂+t₃=2=1.5=3.5s
比较A、B间的最远距离可知，第二次速度相等时两者相距最远，即3.5s时A、B相距2.25m．
（2）因为B做减速运动，故A、B一定会再次相遇．
设二次相遇时间为t₄，则相遇时x_A′=x_B′，即${v}_{B}（{t}_{4}-{t}_{2}）-\frac{1}{2}{a}_{B}′（{t}_{4}-{t}_{2}）^{2}={v}_{A}（{t}_{4}-{t}_{2}）$
解得t₄=5s．
而设B全程的停止时间为t₀，由匀减速运动的规律可知：0=v_B-a_B′（t₀-2），解得t₀=5s．
由t₄=t₀可知，第二次相遇时B的速度恰好为零，即v_B′=0．
答：（1）在B减至速度为零之前，A、B质点在途中经过3.5s时相距最远，最远距离为2.25m；
（2）A、B能第二次相遇，经过5s相遇，此时B的速度为0．

点评 解决本题的关键知道两者速度相等时，两者相距最远，两者位移之差就是相距的位移，难度适中．