Question

15．如图所示，在x轴上方有垂直于xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，在x下方有沿y轴负方向的匀强电场，场强为E．一质量为m、电量为-q的粒子从坐标原点沿着y轴正方向射出，射出之后，第三次到达x轴时，它与原点O的距离为L（重力不计），求：
（1）判断粒子在电场和磁场中的运动类型；
（2）画出粒子运动轨迹；
（3）粒子在磁场中的运动半径；
（4）此粒子射出时的速度；
（5）运动的总路程；
（6）运动的总时间．

Answer 1

分析 （1）（2）（3）（4）粒子垂直进入匀强磁场，受洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动，在电场中受到电场力，做往复运动，即匀减速运动到零再返回；作出粒子运动的轨迹，结合轨道半径求出粒子在磁场中运动的速度；
（5）通过圆周运动的长度以及在电场中运动的路程求出运动的总路程；
（6）由牛顿第二定律和运动学公式结合求出电场中运动时间，根据圆周运动的周期求解磁场中的运动时间，即可得到总时间．

解答 解：（1）粒子在匀强磁场中，靠洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动（半周）；
粒子在电场中，受电场力，做往复运动，匀减速到零后匀加速返回；
（2）结合几何关系画出轨迹，如图所示：

（3）因为第三次到达x轴时，它与点O的距离为L，则有：L=4R；
故R=$\frac{L}{4}$
（4）设粒子初速度为v，洛伦兹力提供向心力，有：
$qvB=m\frac{v^2}{R}$
解得：v=$\frac{BqL}{4m}$
（5）设粒子进入电场作减速运动的最大路程为l，加速度为a，
v²=2al
qE=ma
解得在电场中运动的路程s=2l=$\frac{{v}^{2}}{2a}$=$\frac{m{v}^{2}}{qE}$=$\frac{{q{B^2}{L^2}}}{16mE}$
粒子运动的总路程 s=2πR+2l=2πR+$\frac{q{B}^{2}{L}^{2}}{16mE}$=$\frac{πL}{2}$+$\frac{q{B}^{2}{L}^{2}}{16mE}$．
（6）粒子在电场作匀减速运动，加速度为a=$\frac{qE}{m}$
运动时间为 t₁=$\frac{2v}{a}$=$\frac{BL}{2E}$
粒子在磁场中运动时间是一个周期，为 t₂=T=$\frac{2πm}{qB}$
故t=$\frac{2πm}{qB}$+$\frac{BL}{2E}$
答：（1）粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，在电场中做匀变速直线运动；
（2）如图所示；
（3）粒子在磁场中的运动半径为$\frac{L}{4}$；
（4）此粒子射出时的速度为$\frac{BqL}{4m}$；
（5）运动的总路程为$\frac{πL}{2}$+$\frac{q{B}^{2}{L}^{2}}{16mE}$；
（6）运动的总时间为$\frac{2πm}{qB}$+$\frac{BL}{2E}$．

点评 带电粒子在磁场中的题目关键在于明确圆心和半径，注意要根据题意找出合理的运动过程，从而得出正确的结论．