Question

如图所示为放置在竖直平面内游戏滑轨的模拟装置，滑轨由四部分粗细均匀的金属杆组成，其中倾斜直轨AB与水平直轨CD长均为L＝3m，圆弧形轨道APD和BQC均光滑，AB、CD与两圆弧形轨道相切，BQC的半径为r＝1m，APD的半径为R=2m，O₂A、O₁B与竖直方向的夹角均为q＝37°。现有一质量为m＝1kg的小球穿在滑轨上，以E_k0的初动能从B点开始沿AB向上运动，小球与两段直轨道间的动摩擦因数均为μ＝，设小球经过轨道连接处均无能量损失。（g＝10m/s²，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）求：

（1）要使小球能够通过弧形轨道APD的最高点，初动能E_K0至少多大？
（2）求小球第二次到达D点时的动能；
（3）小球在CD段上运动的总路程。（第（2）（3）两问中的E_K0取第（1）问中的数值）

Answer 1

（1）30J（2）（3）9.78m

试题分析：（1）小球至少需要越过弧形轨道APD的最高点，根据动能定理：
……（2分） 
代入 解得E_k0＝30J…………（2分）
（2）从B点出发到小球第一次回到B点的过程中，根据动能定理：
……（1分） 解得：E_kB= 12J
小球沿AB向上运动到最高点，距离B点为s，则有：E_kB=mmgscosq+mgssinq，……（2分）
解得s="18/13" （m）…（1分）
小球继续向下运动，当小球第二次到达D点时动能为E_KD，
……（1分）
解得：J ……（2分）
（3）小球第二次到D点后还剩12.6J的能量，沿DP弧上升后再返回DC段，到C点只剩下2.6J的能量。因此小球无法继续上升到B点，滑到BQC某处后开始下滑，之后受摩擦力作用，小球最终停在CD上的某点。（1分）
由动能定理：…………（2分）解得：s₁＝3.78m
小球通过CD段的总路程为S_总＝2L＋s＝9.78m…………（1分）
点评：一个题目可能需要选择不同的过程多次运用动能定理研究．圆周运动问题关键要通过受力分析找出向心力的来源列出等式解决问题．