Question

19．假设某宇航员登上了火星，在其表面以初速度v竖直上抛一小球（小球仅受火星的引力作用），小球经过时间t又返回到抛出点．已知火星的半径为R，引力常量为G，则（　　）

• A． 火星的第一宇宙速度为$\sqrt{\frac{vR}{t}}$
• B． 火星的平均密度为$\frac{3v}{2πGRt}$
• C． 火星卫星的最大角度为$\sqrt{\frac{2v}{Rt}}$
• D． 火星的“同步卫星”运行周期为2π$\sqrt{\frac{Rt}{v}}$

Answer 1

分析 根据竖直上抛运动的对称性，结合速度时间公式求出火星表面的重力加速度，根据重力提供向心力求出火星的第一宇宙速度，根据万有引力等于重力求出火星的质量，从而得出火星的平均密度．根据重力提供向心力求出火星卫星的最大角速度．

解答 解：A、根据竖直上抛运动的对称性知，小球上升到最高点的时间为$\frac{t}{2}$，则火星表面的重力加速度g=$\frac{v}{\frac{t}{2}}=\frac{2v}{t}$，根据mg=$m\frac{{v}^{2}}{R}$得，火星第一宇宙速度v=$\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{2vR}{t}}$，故A错误．
B、根据mg=$G\frac{Mm}{{R}^{2}}$得，火星的质量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}=\frac{2v{R}^{2}}{Gt}$，则火星的平均密度$ρ=\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{2v{R}^{2}}{Gt}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}$=$\frac{3v}{2πGRt}$，故B正确．
C、当卫星贴近火星表面做圆周运动，角速度最大，根据mg=mRω²得，$ω=\sqrt{\frac{g}{R}}=\sqrt{\frac{2v}{Rt}}$，故C正确．
D、根据题意，无法求出火星同步卫星的运行周期，故D错误．
故选：BC．

点评 本题考查了万有引力定律和运动学公式的综合运用，掌握万有引力等于重力和万有引力提供向心力这两个重要理论，并能灵活运用，通过速度时间公式求出火星表面的重力加速度是解决本题的关键．