Question

16．如图所示，一个板长为L，板间距离也是L的平行板电容器上极板带正电，下极板带负电．有一对质量均为m，重力不计，带电量分别为+q和-q的粒子从极板正中水平射入（忽略两粒子间相互作用），初速度均为v₀．若-q粒子恰能从上极板边缘飞出，求：
（1）两极板间匀强电场的电场强度E的大小？
（2）-q粒子飞出极板时的速度v的大小与方向？
（3）若在极板右边的空间里存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，为使得+q粒子与-q粒子在磁场中对心正碰（碰撞时速度方向相反且共线），则磁感应强度B应为多少？

Answer 1

分析 （1）极板间电场的方向由正极板指向负极板，根据粒子在电场中的类平抛运动的水平位移和偏转位移可求解电场强度的大小
（2）由动能定理可求粒子飞出电场的速度，飞出电场时速度的方向与初速度的方向间的夹角可用沿电场方向的分速度与初速度的比值来表示
（3）两粒子进入磁场后将做匀速圆周运动，有运动的对称性可知，两粒子在磁场中运动半径相同，对心正碰点必是初速度所在直线与圆周的交点，由几何关系找到粒子运动的半径，利用半径公式可得磁感应强度的表达式．

解答 解：（1）由题意知，电场方向从上极板指向下极板
对于-q粒子，做类平抛运动的沿电场方向的加速度为：a=$\frac{Eq}{m}$…①
粒子在电场中运动时间，t=$\frac{L}{{v}_{0}}$…②
设粒子沿电场方向位移为y，由于恰从上极板边缘射出，则有
y=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{L}{2}$…③
由①②③得：
E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qL}$…④
（2）-q粒子在电场中获得沿电场方向的分速度为：
v₁=at…⑤
飞出电场时粒子的速度大小：v=$\sqrt{{v}_{1}^{2}+{v}_{0}^{2}}$=$\sqrt{2}$v₀…⑥
v的方向与初速度方向的夹角为θ，则：
tanθ=$\frac{{v}_{1}}{{v}_{0}}$=1…⑦
所以，θ=45°…⑧
（3）粒子进入磁场后将做匀速圆周运动，有运动的对称性可知，两粒子在磁场中运动半径相同，故对心正碰点必在初速度方向上，
由几何关系可知，圆周运动半径r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$L…⑨
在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力，即：
qvB=$\frac{m{v}^{2}}{r}$…⑩
由⑥⑨⑩得，B=$\frac{2m{v}_{0}}{qL}$
答：（1）电场方向由上向下，电场强度为$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qL}$；
（2）飞出电场时粒子的速度大小$\sqrt{2}$v₀，方向与初速度方向夹角45°；
（3）磁感应强度大小为$\frac{2m{v}_{0}}{qL}$．

点评 带电粒子在电场中运动分为加速和偏转两种类型，常运用动能定理和平抛运动规律求解，注意运算时要细心，而在匀强磁场中运动时，重要的是由运动径迹利用几何关系找到半径的大小，由洛伦兹力提供向心力，利用牛顿第二定律求解即可．