Question

如图1所示，两根间距为l₁的平行导轨PQ和MN处于同一水平面内，左端连接一阻值为R的电阻，导轨平面处于竖直向上的匀强磁场中．一质量为m、横截面为正方形的导体棒CD垂直于导轨放置，棒到导轨左端PM的距离为l₂，导体棒与导轨接触良好，不计导轨和导体棒的电阻．

（1）若CD棒固定，已知磁感应强度B的变化率

△B

△t

随时间t的变化关系式为

△B

△t

=ksinωt，求回路中感应电流的有效值I；
（2）若CD棒不固定，棒与导轨间最大静摩擦力为f_m，磁感应强度B随时间t变
化的关系式为B=kt．求从t=0到CD棒刚要运动，电阻R上产生的焦耳热Q；
（3）若CD棒不固定，不计CD棒与导轨间的摩擦；磁场不随时间变化，磁感应强度为B．现对CD棒施加水平向右的外力F，使CD棒由静止开始向右以加速度a做匀加速直线运动．请在图2中定性画出外力F随时间t变化的图象，并求经过时间t₀，外力F的冲量大小I．

Answer 1

分析：（1）已知磁感应强度B的变化率

△B

△t

=ksinωt，由法拉第电磁感应定律求得感应电动势瞬时表达式，由欧姆定律求得感应电流瞬时表达式，得到感应电流的最大值I_m．由于交变电流是正弦式的，所以感应电流的有效值I=

2

2

I_m．
（2）当磁感应强度B随时间t变化的关系式为B=kt，回路中产生恒定的感应电流，CD棒所受的安培力均匀增大，当安培力等于最大静摩擦力时，棒刚要运动．根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律得到安培力与时间的关系式，由安培力等于最大静摩擦力求出时间，由焦耳定律求Q．
（3）先推导出安培力与时间的关系式，根据牛顿第二定律外力F与时间的关系式，作出图象，图象的“面积”等于外力的冲量，即可由几何知识求得冲量I．

解答：解：（1）根据法拉第电磁感应定律
回路中的感应电动势e=

△Φ

△t

=kl1l2sinωt
所以，电动势的最大值 E_m=kl₁l₂
由闭合电路欧姆定律 Im=

Em

R

=

kl1l2

R

由于交变电流是正弦式的，所以感应电流的有效值I=

2

2

I_m
解得，I=

kl1l2

2 R

（2）根据法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势 E=l1l2

△B

△t

=kl1l2
根据闭合电路欧姆定律 I=

E

R

=

kl1l2

R

CD杆受到的安培力 FA=BIl1=

k2 l 2 1 l2

R

t
当CD杆将要开始运动时，满足：F_A=f_m
由上式解得：CD棒运动之前，产生电流的时间t=

fmR

k2 l 2 1 l2

所以，在时间t内回路中产生的焦耳热Q=I²Rt=f_ml₂
（3）CD棒切割磁感线产生的感应电动势E=Bl₁v
时刻t的感应电流I=

E

R

=

Bl1at

R

CD棒在加速过程中，根据由牛顿第二定律 F-BIl₁=ma
解得：F=

B2 l 2 1 a

R

t+ma
根据上式，可得到外力F随时间变化的图象如图所示，由图象面积可知：经过时间t₀，外力F的冲量I
I=

1

2

[(

B2 l 2 1 a

R

t0+ma)+ma]t0
解得：I=

B2 l 2 1 a t 2 0

2R

+mat0

答：
（1）回路中感应电流的有效值I为

kl1l2

2 R

；
（2）从t=0到CD棒刚要运动，电阻R上产生的焦耳热Q为f_ml₂；
（3）在图2中定性画出外力F随时间t变化的图象如图所示，经过时间t₀，外力F的冲量大小I为

B2 l 2 1 a t 2 0

2R

+mat₀．

点评：本题是电磁感应与交变电流、力学、电路等多个知识的综合，根据法拉第电磁感应定律求感应电动势，由欧姆定律求感应电流是基本的思路．对于涉及棒的运动问题，安培力的推导是关键．