Question

5．如图所示，一辆汽车以恒定速率v=10m/s的通过一座拱桥，在桥顶时汽车对桥面的压力等于车重的一半，求（g取10m/s²）：
（1）这座拱桥的半径是多大？
（2）若要使汽车过桥顶时对桥面无压力，则汽车过桥顶时的速度大小至少是多大？

Answer 1

分析 （1）在桥顶，根据牛顿第二定律，结合支持力的大小以及速度大小求出这座桥的半径．
（2）若要使汽车过桥顶时对桥面无压力，汽车靠重力提供向心力，结合牛顿第二定律求出汽车过桥顶的临界速度．

解答 解：（1）在桥顶，根据牛顿第二定律得，$mg-N=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
N=$\frac{1}{2}mg$，
代入数据解得R=20m．
（2）要使汽车过桥顶时对桥面的压力为零，则靠重力提供向心力，根据mg=$m\frac{v{′}^{2}}{R}$得，
汽车过桥顶的最小速度$v′=\sqrt{gR}=\sqrt{10×20}$m/s=$10\sqrt{2}$m/s．
答：（1）这座拱桥的半径是20m；
（2）汽车过桥顶时的速度大小至少是$10\sqrt{2}$m/s．

点评 解决本题的关键知道最高点汽车向心力的来源，抓住临界状态，结合牛顿第二定律进行求解．