Question

如图1所示，两根足够长、电阻不计的光滑金属导轨相距为L₁=1m，导轨与平面成θ=30°角，上端接一个阻值为R=1.5Ω电阻；质量为m=0.2kg、阻值为r=0.5Ω的金属棒ab放在两导轨上，距离导轨最上端L₂=4m，棒与导轨垂直并保持良好接触．整个装置处于一垂直于导轨平面的匀强磁场中，磁感应强度随时间的变化关系如图2甲所示．开始时，为保持ab静止，在棒上加一平行于斜面的外力F，当t=2s时，F恰好为零．求：
（1）在0-3s时间内磁感应强度的变化率△B/△t=？
（2）t=2.5s时，外力F的大小及方向．
（3）在t=4s时，突然撤去外力，当金属棒在以后运动达到稳定时其两端的电压U_ab=？
（4）在图2乙中画出前4s内外力F随时间的变化图象（以沿斜面向上为力的正方向）

Answer 1

分析：（1）由题意当t=2s时，F恰好为零，此时棒所受的安培力与重力沿斜面向下的分力平衡，由平衡条件列式可求出感应电流，根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律结合即可求出B的变化率．
（2）t=2.5s时，棒ab静止，根据平衡条件列式求外力的大小，判断方向．
（3）由图2知，3s后磁感应强度B不变，在t=4s时，撤去外力，金属棒沿斜面向下先做加速度减小的加速运动，后做匀速运动，达到了稳定状态，此时合力为零，由平衡条件求出感应电流，由欧姆定律求电压U_ab．
（4）根据平衡条件得到F的表达式，再作出图象．

解答：解：（1）因为t=2s时，F恰好为零，棒处于静止状态，则有
    mgsin30°=BIL₁
  又I=

E

R+r

，E=

△B

△t

L₁L₂，B=

△B

△t

t=2

△B

△t

，
联立解得，

△B

△t

=0.5T/s
（2）t=2.5s时，B=

△B

△t

t=0.5×2.5s=1.25T
由上题得：I=1A
则安培力F_安=BIL₁=1.25N
由平衡条件得：F=F_安-mgsin30°=0.25N，方向沿斜面向下  
（3）在t=4s时与t=3s时B相等，B=

△B

△t

t=1.5T
当棒匀速下滑时在达到稳定状态，则有
   mgsin30°=BIL₁
解得，I=

2

3

A
又U_ab=IR=1V 
（4）在0-3s内：由mgsin30°=F+BIL₁
又B=

△B

△t

t=0.5t（T），I=1A，L₁=1m，代入上式得
   F=1-0.5t（N）
在3-4s内，F=mgsin30°=1N
作图如下．
 
答：
（1）在0-3s时间内磁感应强度的变化率

△B

△t

为0.5T/s．
（2）t=2.5s时，外力F的大小0.25N，方向沿斜面向下．
（3）在t=4s时，突然撤去外力，当金属棒在以后运动达到稳定时其两端的电压U_ab为1V．
（4）在图2乙中画出前4s内外力F随时间的变化图象如图．

点评：本题综合了电磁感应中法拉第电磁感应定律、欧姆定律、安培力及力学中力平衡知识，综合性较强，安培力的分析和计算是关键．