Question

4．某行星半径为R．若观测到有一颗卫星在离此行星表面高为h的轨道上做匀速圆周运动，且周期运动为T，试估算：
（1）此行星的质量多大？
（2）此行星的密度多大？（万有引力恒量为G）

Answer 1

分析 万有引力做为向心力，明确告诉了行星的周期，所以向心力的公式要考虑用含有周期的公式．
根据密度公式求解行星的密度．

解答 解：由万有引力做为向心力，因为知道了行星的周期，
所以由$G\frac{Mm}{{（R+h）}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（R+h）$
解得  M=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$
行星的体积V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$
ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{4{π}^{2}{（R+h）}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3π}{G{T}^{2}}（\frac{R+h}{R}）^{3}$
答：（1）此行星的质量为$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$．
（2）此行星的密度为$\frac{3π}{G{T}^{2}}（\frac{R+h}{R}）^{3}$．

点评 本题就是直接的应用万有引力做为向心力，求星球的质量，最基本的应用学生必须掌握．