Question

13．如图所示，质量M=1kg、长为L的长木板静止在水平面上，左端放置质量m=1kg的小物块（可看做质点）．小物块与木板之间的动摩擦系数为μ₁=0.3，木板与水平面之间的动摩擦因数μ₂=0.1，给小物块一水平向右F=6N的拉力，使小物块相对于木板向右加速运动，重力加速度g取10m/s²．
（1）求小物块和木板的加速度大小．
（2）经过2s后，若小物块仍未从木板上滑落，求小物块和木板的位移．
（3）若F作用2s后立刻撤去，要使小物块不滑出木板，木板至少为多长？

Answer 1

分析 （1）对木板和小物体受力分析，由牛顿第二定律可以求得加速度的大小；
（2）根据匀加速直线运动位移时间公式求出位移大小；
（3）撤去拉力后，小滑块在滑动摩擦力作用下，做匀减速运动，木板在摩擦力作用下做匀加速运动，当速度相等时相对静止，然后一起做匀减速运动直到静止，求出速度相等前滑块和木板运动的位移，进而求出木板的最小长度．

解答 解：（1）对小物块，根据牛顿第二定律得：${a}_{1}=\frac{F-{μ}_{1}mg}{m}=\frac{6-0.3×1×10}{1}=3m/{s}^{2}$，
对木板，根据牛顿第二定律得：${a}_{2}=\frac{{μ}_{1}mg{-μ}_{2}（M+m）g}{M}$=$\frac{0.3×1×10-0.1×2×10}{1}=1m/{s}^{2}$，
（2）根据匀加速直线运动位移时间公式得：
2s内小物块的位移${x}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}=\frac{1}{2}×3×4=6m$，
木板的位移${x}_{2}=\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}=\frac{1}{2}×1×4=2m$，
（3）撤去F时，物体的速度v₁=a₁t=3×2=6m/s，木板的速度v₂=a₂t=1×2=2m/s，
撤去F后，物块做匀减速直线运动，木板以原来的加速度做匀加速直线运动，当两者速度相等后一起做匀速直线运动，
撤去F后，对小物块，根据牛顿第二定律得${a}_{3}=\frac{{-μ}_{1}mg}{m}=\frac{-0.3×1×10}{1}=-3m/{s}^{2}$，
设经过时间t₁两者速度相等，则有
v₂+a₂t₁=v₁+a₃t₁
解得：t₁=1s，
当速度相等时，物块正好运动到木板右端时，木板长度最短，
此过程中，木块运动的位移${x}_{3}={v}_{1}{t}_{1}+\frac{1}{2}{a}_{3}{{t}_{1}}^{2}=6×1-\frac{1}{2}×3×1=4.5m$，
木板运动的位移${x}_{4}={v}_{2}{t}_{1}+\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{1}}^{2}=2×1+\frac{1}{2}×1×1=2.5m$，
则木板的长度最少为L=x₁+x₃-x₂-x₄=6+4.5-2-2.5=6m．
答：（1）小物块和木板的加速度大小分别为3m/s²和1m/s²．
（2）经过2s后，若小物块仍未从木板上滑落，小物块和木板的位移分别为6m和2m．
（3）若F作用2s后立刻撤去，要使小物块不滑出木板，木板至少6m长．

点评 解题的关键是正确对滑块和木板进行受力分析，清楚滑块和木板的运动情况，根据牛顿第二定律及运动学基本公式求解，知道当速度相等时，物块正好运动到木板右端时，木板长度最短，难度适中．