Question

（2013?合肥一模）如图所示，光滑半圆形轨道处于竖直平面内，半圆轨道与光滑的水平地面相切于半圆的端点A．一质量为m的小球在水平地面上的C点受水平向左的恒力F由静止开始运动，当运动到A点时撤去恒力F，小球沿竖直半圆轨道运动到轨道最高点B点，最后又落在水平地面上的D点（图中未画出）．已知A、C间的距离为L，重力加速度为g．
（1）若轨道半径为R，求小球到达圆轨道B点时对轨道的压力F_N；
（2）为使小球能运动到轨道最高点B，求轨道半径的最大值R_m；
（3）轨道半径R多大时，小球在水平地面上的落点D到A点的距离最大？最大距离x_m是多少？

Answer 1

分析：（1）先由动能定理求出小球到达B点时的速度大小，再由牛顿第二定律求出轨道对小球的弹力，即可由牛顿第三定律得到小球对轨道的压力．
（2）当小球对轨道的压力恰好为零时，求出轨道半径的最大值R_m；
（3）小球离开B点后做平抛运动，根据高度求出平抛运动的时间，再根据初速度和时间求出平抛运动的水平位移表达式，与第1题中小球经过B点的速度联立，运用数学知识求解．

解答：解：（1）设小球到达圆轨道B点时速度为v，从C到B，由动能定理有：
FL-2mgR=

1

2

mv2-0
解得：v=

2FL-4mgR m

据牛顿第二定律有：F_N′+mg=m

v2

R

 
解得：F_N′=

2FL

R

-5mg
根据牛顿第三定律可知，小球到达圆轨道B点时对轨道的压力为：F_N=F_N′=

2FL

R

-5mg，方向竖直向上．
（2）轨道半径越大，小球到达最高点的速度越小，当小球恰好到达最高点时，轨道对小球的作用力为零，则小球对轨道的压力也为零，此时轨道半径最大，则令F_N=

2FL

R

-5mg=0，解得轨道半径的最大值R_m=

2FL

5mg

（3）设小球平抛运动的时间为t，在竖直方向上有：2R=

1

2

gt2
得：t=2

R g

水平位移为：x=vt=

2FL-4mgR m

?2

R g

=

(2FL-4mgR)(4mgR) m2g2

当2FL-4mgR=4mgR时，水平位移x最大，得：R=

FL

4mg

D到A最大距离为：x_m=4R=

FL

mg

答：
（1）若轨道半径为R，小球到达圆轨道B点时对轨道的压力F_N是

2FL

R

-5mg，方向竖直向上．
（2）为使小球能运动到轨道最高点B，轨道半径的最大值R_m是

2FL

5mg

．
（3）轨道半径R=

FL

4mg

时，小球在水平地面上的落点D到A点的距离最大，最大距离x_m是

FL

mg

．

点评：本题综合运用了动能定理、牛顿第二定律、平抛运动，综合性较强，关键理清过程，选择适当的定理或定律进行解题．