Question

11．如图所示水平传送带，轮的半径均为$\frac{1}{π}$，顺时针转动，两轮轴心相距L=8.0m．将一物体轻放在传送带左端，物体与传送带间的动摩擦因数为μ=0.4．
（1）当传送带以v₀=4.0m/s的速度匀速运动时，物体由A端运送到B端所用时间为多少？
（2）要想尽快将物体由A端送到B端（设初速度仍为零），轮的转速至少应为多大？
（3）在运送物体的过程中物体会在传送带上留下划痕．当物体静止释放在A端时，传送带做初速度v₀=$\frac{16}{3}$m/s的匀减速运动，物体刚好到达B端，求传送带的加速度大小和划痕的长度．（结果可用分数表示）

Answer 1

分析 （1）应用牛顿第二定律求出物体的加速度，然后应用匀变速直线运动的速度公式与速度位移公式求出物体运加速的时间与位移，再求出物体匀速运动的时间，最后求出总的运动时间．
（2）物体一直匀加速运动时所需要的时间最短，由匀变速直线运动的速度求出物体的末速度，该速度就是传送带的最小速度，然后求出轮的转速．
（3）应用匀变速直线运动规律与匀速运动位移公式求出传送带与物体的位移，然后求出划痕的长度．

解答 解：（1）当物体放到传送带上时，
由牛顿第二定律得：a=$\frac{μmg}{m}$=μg=4m/s²，
当物体达到与传送带速度相同时：t₁=$\frac{{v}_{0}}{a}$=1s，
物体加速运动的位移：s=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$=2m，
物体匀速运动的时间：t₂=$\frac{L-s}{{v}_{0}}$=1.5s，
物体由A端运送到B端所用时间为t=t₁+t₂=2.5s；
（2）当物体一直加速运动时到达B端时间最短，
由匀变速直线运动的速度位移公式得：v²=2aL，
物体的最终速度：v=8m/s，
传送带的速度至少为8m/s
则轮的转速：n=$\frac{v}{2πR}$=4 rad/s；
（3）当物体速度与传送带相同时：at=v₀-a′t
物体的位移 s=$\frac{1}{2}$at²，
接下来物体随着传送带一起减速到0
物体的位移：s′=$\frac{{v}^{2}}{2a′}$=$\frac{（at）^{2}}{2a′}$，
由题意知：L=s+s′，
解得：a′=$\frac{4}{3}$m/s²，t=1s，s=2m，
划痕长度：△s=v₀t-$\frac{1}{2}$at²-s=$\frac{8}{3}$m；
答：（1）当传送带以v₀=4.0m/s的速度匀速运动时，物体由A端运送到B端所用时间为2.5s；
（2）要想尽快将物体由A端送到B端（设初速度仍为零），轮的转速至少应为4rad/s；
（3）传送带的加速度大小和划痕的长度为$\frac{8}{3}$m．

点评 本题是一道力学综合题，物体运动过程较复杂，难度较大，分析清楚物体运动过程，应用牛顿第二定律、运动学公式可以解题．