Question

已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，不考虑地球自转的影响．求：
（1）地球第一宇宙速度v₁的表达式；
（2）若地球自转周期为T，计算地球同步卫星距离地面的高度h．

Answer 1

分析：第一宇宙速度是卫星在近地圆轨道上的环绕速度，重力等于万有引力，引力等于向心力，列式求解；
地球的同步卫星的万有引力提供向心力，可以求出地球同步卫星的高度．

解答：解：（1）第一宇宙速度等于近地卫星的环绕速度，
对近地卫星列牛顿第二定律方程有
 mg=m

v12

R

解得第一宇宙速度   v1=

gR

（2）对地球的同步卫星的万有引力提供向心力，列牛顿第二定律方程
有 

GMm

(R+h)2

=m(R+h)(

2π

T

)2
式中  GM=gR²
联立解得   h=

3	gR2T2 4π2

-R
答：（1）地球第一宇宙速度v₁的表达式是

gR

；
（2）若地球自转周期为T，计算地球同步卫星距离地面的高度是

3	gR2T2 4π2

-R．

点评：解答此题要清楚地球表面的物体受到的重力等于万有引力，地球的同步卫星的万有引力提供向心力．