Question

20．如图所示，在同一竖直平面内，一轻质弹簧下端固定在位置E，上端恰好与水平线CD齐平．静止在倾角为θ=53°的光滑斜面上．一长为L=1.8m的轻质细绳一端固定在O点，另一端系一质置m=lkg的小球，将细绳拉至水平，使小球从位置A由静止释放．小球到达最低点B时，细绳刚好被拉断．之后小球恰好沿着斜面方向撞上弹簧上端并将弹簧压缩，最大压缩量为x=0.5m，取g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6．求：
（1）细绳受到的拉力的最大值T_m；
（2）B点到水平线CD的髙度h；
（3）弹簧所获得的最大弹性势能E_p．

Answer 1

分析 （1）根据机械能守恒定律求出小球在B点的速度，再根据竖直方向上的合力提供向心力，运用牛顿第二定律求出绳子的最大拉力．
（2）球在运动过程中恰好沿斜面方向将弹簧压缩，知绳子断裂后，做平抛运动，由平抛运动的规律求h．
（3）根据速度的合成求出A点的速度，根据系统机械能守恒求出弹簧的最大弹性势能．

解答 解：（1）设小球在B点的速度为v_B，由机械能守恒定律得：
mgL=$\frac{1}{2}$mv_B²，
在B点，由牛顿第二定律得：T_m-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{L}$
解得：v_B=6m/s，T_B=30N        
（2）小球在B点时，细绳刚好被拉断后做平抛运动，沿着斜面方向撞上弹簧上端时设水平方向速度为v_x，竖直方向速度为v_y，速度方向与水平方向的夹角为θ，则
v_x=v_B=6m/s
v_y=$\sqrt{2gh}$
据题有：tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$
解得：h=3.2m       
（3）设小球在C点的速度为v_C，则有：
v_C=$\frac{{v}_{x}}{cosθ}$
则弹簧所获得的最大弹性势能：
E_p=mgxsin 53°+$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
解得：E_P=54 J       
答：（1）细绳受到的拉力的最大值为30N．　
（2）D点到水平线AB的高度h为3.2m．　
（3）弹簧所获得的最大弹性势能E_p为54J．

点评 本题考查了圆周运动、平抛运动等知识点，综合运用了牛顿第二定律、机械能守恒定律，关键是理清运动过程，选择合适的规律进行求解．