Question

(18 分) 在图中，半径为的圆柱形区域内有匀强磁场，磁场方向垂直纸面指向纸外，磁感应强度随时间均匀变化，变化率(为一正值常量),圆柱形区外空间没有磁场，沿图中弦的方向画一直线，并向外延长，弦与半径的夹角．直线上有一任意点，设该点与点的距离为，求从沿直线到该点的电动势的大小．

Answer 1

解析：

由于圆柱形区域内存在变化磁场，在圆柱形区域内外空间中将产生涡旋电场，电场线为圆，圆心在圆柱轴线上，圆面与轴线垂直，如图中虚点线所示．在这样的电场中，沿任意半径方向移动电荷时，由于电场力与移动方向垂直，涡旋电场力做功为零，因此沿半径方向任意一段路径上的电动势均为零．

1．任意点在磁场区域内：令为任意点（见图1），在图中连直线与。取闭合回路，可得回路电动势，式中，，分别为从到、从到、从到的电动势。由前面的分析可知，，故

                                           （1）

令的面积为，此面积上磁通量，由电磁感应定律，回路的电动势大小为

根据题给的条件有

                                           （2）

由图2可知

                                （3）

由（1）、（2）、（3）式可得沿线段的电动势大小为

                                                       （4）

 

2．任意点在磁场区域外：令为任意点（见图2），。在图中连、。取闭合回路，设回路中电动势为，根据类似上面的讨论有

                                          （5）

对于回路，回路中磁通量等于回路所包围的磁场区的面积的磁通量，此面积为，通过它的磁通量。根据电磁感应定律可知回路中电动势的大小

                                           （6）

在图中连，令，则，于是

当时，，

中有

于是得

                           （7）

由（5）、（6）、（7）式可得沿线的电动势的大小为

                          （8）