Question

体育老师带领学生做了一个游戏，在跑道上距离出发点32m、100m的直线上分别放有1枚硬币，游戏规则是把这2枚硬币全部捡起来（捡硬币时，人的速度为0），看谁用的时间最短．已知某同学做匀加速运动和匀减速运动的加速度大小均为2m/s²，运动的最大速度不超过10m/s．求该同学捡起2枚硬币所需要的最短时间．

Answer 1

由题意分析，该同学在运动过程中，平均速度越大时间最短．可能先加速，再减速．因为最大速度为10m/s，也可能先加速，再匀速最后减速．
设经过时间t₁捡到第一枚硬币，先设该同学先匀加速速再匀减速运动所需时间最小，根据由运动学公式：
加速段有位移：x加=

1

2

a

t

2加

，减速阶段因为速度减到0，故减速阶段的位移：x减=at加t减-

1

2

a

t

2减

因为加速和减速时间相同：t加=t减=

t1

2

，加速度大小相等均为a，故总位移：x=x_加+x_减=

1

2

a

t

2加

+

1

2

a

t

2减

=

1

2

a(

t1

2

)2×2
代入x=32m，a=2m/s2，可得同学所需最短时间：t₁=8s，
此过程中同学的最大速度：vmax=a

t1

2

=8m/s＜10m/s
所以该同学捡第一枚硬币的过程中，先加速再减速用时最短．
（2）令再经过t₂捡第二枚硬币．同理有：

1

2

a(

t2

2

)2×2=100-32
代入a解得：t2=2

34

s
加速最大速度：v2=a

t2

2

=2

34

m/s＞10m/s
所以捡第二枚硬币时，应先加速再匀速最后减速．设加速减速的总时间为t₃，匀速的时间为t₄，因为加速的末速度为10m/s，所以据：v=a

t3

2

=10m/s得：t₃=10s
匀加速和匀减速的总位移为：x=

1

2

a(

t3

2

)2×2=

1

2

×2×(

10

2

)2×2m=50m
则匀速运动的位移为：vt₄=100-32-50
∴t₄=1.8s
则该同学运动的最短时间：t=t₁+t₃+t₄=19.8s
答：该同学捡起2枚硬币所需要的最短时间为19.8s．