Question

如图所示，滑块A、B的质量分别为
m₁与m₂，m₁＜m₂，由轻质弹簧相连接置于水平的气垫导轨上，用一轻绳把两滑块拉至最近，使弹簧处于最大压缩状态后绑紧。
两滑块一起以恒定的速率v₀向右滑动.突然轻绳断开.

当弹簧伸至本身的自然长度时，滑块A的速度
正好为0.求：
小题1:绳断开到第一次恢复自然长度的过程中弹簧释放的弹性势能Ep；
小题2:在以后的运动过程中，滑块B是否会有速度为0的时刻?试通过定量分析证明你的结论.

Answer 1

小题1:E_p=(m₁-m₂)(m₁+m₂)v₀²/2m₂.
小题2:不可能

小题1:当弹簧处压缩状态时，系统的机械能等于两滑块的动能和弹簧的弹性势能之和，当弹簧伸长到自然长度时，弹性势能为0，因这时滑块A的速度为0，故系统的机械能等于滑块B的动能.设这时滑块B的速度为v，则有E=m₂v²/2.
因系统所受外力为0，由动量守恒定律
(m₁+m₂)v₀=m₂v.
解得E=(m₁+m₂)²v₀²/(2m₂).
由于只有弹簧的弹力做功，系统的机械能守恒
(m₁+m₂)v₀²/2+E_p=E.
解得E_p=(m₁-m₂)(m₁+m₂)v₀²/2m₂.
小题2:假设在以后的运动中滑块B可以出现速度为0的时刻，并设此时A的速度为v₁，弹簧的弹性势能为E′_p，由机械能守恒定律得
m₁v₁²/2+E′_p=(m₁+m₂)²v₀²/2m₂.
根据动量守恒得(m₁+m₂)v₀=m₁v₁，
求出v₁代入上式得:
(m₁+m₂)²v₀2/2m₁+E′p=(m₁+m₂)²v₀2/2m₂.
因为E′p≥0，故得:
(m₁+m₂)²v₀²/2m₁≤(m₁+m₂)²v₀²/2m₂
即m₁≥m₂，这与已知条件中m₁＜m₂不符.
可见在以后的运动中不可能出现滑块B的速度为0的情况.